Darboux egenskapssats för en kontinuerlig funktion
Satsen om Darboux-egenskapen (D-egenskapen) för en kontinuerlig funktion i matematisk analys säger att den kontinuerliga bilden av ett segment är ett segment.
Formulering
Låt en kontinuerlig funktion med reellt värde ges på ett intervall . Då finns det sådana som
![{\displaystyle f:[a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f\in C^{0}{\bigl (}[a,b]{\bigr )} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7db075924b0ead08afd1b8301ac2d02bb3b309)
![f{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=[c,d].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44edcd5a84d62f06673de042540c2a9044d97695)
Anteckningar
- Om funktionen är konstant, då
- Darboux egenskapssats säger att en kontinuerlig karta mappar vilket segment som helst till ett segment. Denna egenskap hos en funktion kallas för Darboux-egenskapen. Det omvända påståendet är inte sant i allmänhet. Tänk till exempel på funktionen som formeln ger
![f:[0,1]\to \mathbb{R} ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bafb1e62d4de21640d672bb803a68771832b379)
![f(x)=\left\{{\begin{matrix}\sin \left({\frac {\pi }{2x}}\right),&x\in (0,1]\\0,&x=0 \end{matris}}\right..](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00e028dffc37ef67209fb4c8c9730fd4e9c2400)
- Sierpinskis sats . Vilken funktion som helst kan representeras av summan av två funktioner med Darboux-egenskapen.
Darboux-egenskapen för monotona funktioner
Låt funktionen monotont öka eller minska på hela intervallet. Sedan har den Darboux-egenskapen om och bara om den är kontinuerlig.
![f:[a,b]\to \mathbb{R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
Generalisering
Darboux-egenskapen gäller inte bara för kontinuerliga funktioner, utan också för alla funktioner som är en derivata av en annan funktion. De senare inkluderar kontinuerliga funktioner. Låt - differentierbar inom definitionsdomänen, det vill säga och även differentierbar till höger vid punkten : och till vänster vid punkten : Då är ett segment, en sluten stråle eller hela linjen (det vill säga sluten och sammankopplad ).
![F:[a,b]\to \mathbb{R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cacd74b0bb95ed9ddf45676b1ad0f3d618c4cdc)
![f{\bigl (}[a,b]{\bigr )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98bb8617481c8a74b87b45e322eae869304858bc)