Uniformiseringsteorem

Uniformeringssatsen är en generalisering av Riemanns kartläggningssats till tvådimensionella Riemannska grenrör . Vi kan säga att satsen ger det bästa måttet i en given konform klass.

Formulering

Varje enkelt ansluten Riemann-yta är konformt likvärdig med Riemann-sfären i det komplexa planet , eller den öppna enhetsskivan . ${\widehat {\mathbb {C} }}$ $\mathbb {C}$ ${\displaystyle \mathbb {D} =\{\,z\in \mathbb {C} :|z|<1\,\))$

Konsekvenser

Varje Riemannisk metrik på ett anslutet tvådimensionellt grenrör är konformt likvärdigt med ett komplett mätvärde med konstant krökning.
- Om grenröret är stängt kan tecknet på krökningen hittas från dess Euler-karaktäristik .
  - Om Euler-karaktäristiken är positiv, är grenröret konformt ekvivalent med en sfär eller ett projektivt plan med en kanonisk metrik.
  - Om Euler-karakteristiken är noll, är grenröret konformt ekvivalent med en platt torus eller en platt Klein-flaska . Dessutom har torus och Klein-flaskan en 2-parametersfamilj av platta mått som inte är konformt likvärdiga med varandra.
  - Om Euler-karakteristiken är negativ, är grenröret konformt ekvivalent med en hyperbolisk yta.

Variationer och generaliseringar

Geometriseringssatsen kan ses som en generalisering av uniformeringssatsen till 3-grenrör.

Litteratur

Abikoff, William. Uniformeringssatsen // Amer . Matematik. Månadsvis . - 1981. - Vol. 88 , nr. 8 . — S. 574–592 .