Lifshitz teori

Lifshitz-teorin är en allmän teori om fluktuationskrafterna hos van der Waals och Casimir . Huvudresultatet av teorin är formeln för den fria energin i det elektromagnetiska fältet, som gör att man kan erhålla trycket som uppstår mellan materialytorna på grund av fluktuationskrafternas verkan. I Lifshitz teori är mediet klassiskt , och det elektromagnetiska fältet är kvant . Teorin utvecklades av den sovjetiske fysikern Yevgeny Mikhailovich Lifshitz 1956.

Lifshitz formel

Formel för energi vid noll temperatur

Energi som funktion av avståndet mellan två identiska planparallella plattor:

E(a)={\frac {\hbar }{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\int _{ 0}^{\infty }d\xi \left\{\ln[1-r_{\textrm {TM}}^{2}(i\xi ,k_{\perp })e^{-2aq}]+ \ln[1-r_{\textrm {TE}}^{2}(i\xi ,k_{\perp })e^{-2aq}]\right\}

(ett)

var . Här är projektionen av det elektromagnetiska fältets vågvektor på plattans ytplan, är den imaginära frekvensen, är ljusets hastighet , är den reducerade Planck-konstanten . Materialegenskaper beaktas genom reflektionskoefficienterna - och . Reflektionskoefficienterna ges av Fresnels formler : ${\displaystyle q^{2}=q^{2}(i\xi ,k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\xi ^{2}/c^{2))$ ${\displaystyle k_{\perp ))$ $\xi$ $c$ $\hbar$ $r_{\textrm {TE))$ $r_{\textrm {TM}}$

r_{\textrm {TM}}(i\xi ,k_{\perp })={\frac {\epsilon (i\xi )q(i\xi ,k_{\perp })-k(i \xi ,k_{\perp })}{\epsilon (i\xi )q(i\xi ,k_{\perp })+k(i\xi ,k_{\perp })))),\quad r_ { \textrm {TE}}(i\xi ,k_{\perp })={\frac {q(i\xi ,k_{\perp })-k(i\xi ,k_{\perp })}{ q (i\xi ,k_{\perp })+k(i\xi ,k_{\perp ))))),

(2)

var . $k^{2}=k^{2}(i\xi ,k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\epsilon (i\xi )\xi ^{2}/ c^{2}$

Formel för tryck vid noll temperatur

Tryck som funktion av avståndet mellan två identiska planparallella plattor:

P(a)=-{\frac {\hbar }{2\pi ^{2))}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\int _ {0}^{\infty }d\xi \;q\left\{[r_{\textrm {TM}}^{-2}(i\xi ,k_{\perp })e^{2aq}-1 ]^{-1}+[r_{\textrm {TE}}^{-2}(i\xi ,k_{\perp })e^{2aq}-1]^{-1}\right\}

(3)

Den använda notationen beskrivs ovan.

Formel för fri energi vid godtycklig temperatur

Fri energi som funktion av temperatur och avstånd mellan två olika planparallella plattor:

{\mathcal {F}}(a,T)={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{2\pi }}\summa _{l=0}^{\infty }\ !{\text{ }}^{'}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\left\{\ln[1-r_{\textrm {TM}}^ {(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TM}}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp })e ^{-2aq_{l}}]+\ln[1-r_{\textrm {TE}}^{(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TE }}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp })e^{-2aq_{l}}]\right\}

(fyra)

här betecknar primtal vid summans tecken multiplikatorn vid nolltermen i serien, index 1 och 2 vid reflektionskoefficienterna betecknar den första respektive andra plattan, är Boltzmann-konstanten , , och är Matsubara-frekvenserna, som ges av uttrycket $1/2$ ${\displaystyle k_{\mathrm {B} ))$ $q_{l}^{2}=q^{2}(i\xi _{l},k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\xi _{l}^ {2}/c^{2}$ $\xi _{l}$

\xi _{l}=2\pi {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{\hbar }}l

(5)

Formel för tryck vid godtycklig temperatur

Tryck som funktion av temperatur och avstånd mellan två olika planparallella plattor:

P(a,T)=-{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }\!{\text{ } }^{'}\int _{0}^{\infty }q_{l}k_{\perp }dk_{\perp }\left\{\left[{\frac {e^{2aq_{l))} {r_{\textrm {TM}}^{(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TM}}^{(2)}(i\xi _{ l},k_{\perp })}}-1\höger]^{-1}+\vänster[{\frac {e^{2aq_{l}}}{r_{\textrm {TE}}^{( 1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TE}}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp }})))) - 1\höger]^{-1}\höger\}

(6)

Den använda notationen beskrivs ovan.

Anteckningar

Se även

Litteratur

M. Bordag, G.L. Klimchitskaya, U. Mohideen, V.M. Mostepanenko. Framsteg i Casimir-effekten. — 2009.