Teori om slumpmässiga matriser

Teorin om slumpmässiga matriser  är en forskningslinje i skärningspunkten mellan matematisk fysik och sannolikhetsteori , där egenskaperna hos ensembler av matriser studeras , vars element är slumpmässigt fördelade. Som regel är lagen för fördelning av element satt. Därvid studeras statistiken för egenvärden för slumpmässiga matriser , och ibland även statistiken för deras egenvektorer .

Teorin om slumpmässiga matriser har många tillämpningar inom fysiken, särskilt i tillämpningarna av kvantmekaniken för studiet av oordnade och klassiskt kaotiska dynamiska system . Faktum är att Hamiltonian för ett kaotiskt system ofta kan ses som en slumpmässig hermitisk eller symmetrisk verklig matris , medan energinivåerna för denna Hamiltonian kommer att vara egenvärdena för den slumpmässiga matrisen.

För första gången användes teorin om slumpmässiga matriser av Wigner 1950 för att beskriva energinivåerna i atomkärnan . Därefter visade det sig att teorin om slumpmässiga matriser beskriver många system, inklusive till exempel energinivåerna för kvantprickar , energinivåerna för partiklar i komplexformade potentialer. Som det visade sig är teorin om slumpmässiga matriser tillämpbar på nästan alla kvantsystem vars klassiska motsvarighet inte är integrerbar . Samtidigt finns det betydande skillnader i fördelningen av energinivåer: fördelningen av energinivåer i ett integrerbart system är som regel nära Poisson-fördelningen , medan det för ett icke-integrerbart system har en annan form, vilket är karakteristiskt för slumpmässiga matriser (se nedan).

Teorin om slumpmässiga matriser visade sig vara användbar för till synes främmande delar av matematiken, i synnerhet kan fördelningen av nollor av Riemann zeta-funktionen på den kritiska linjen beskrivas med hjälp av en ensemble av slumpmässiga matriser [1] .

Grundläggande ensembler av slumpmässiga matriser och deras tillämpningar i fysik

Det finns tre huvudtyper av ensembler av slumpmässiga matriser som har tillämpningar inom fysik. Dessa är Gaussisk ortogonal ensemble , Gaussisk enhetlig ensemble , Gaussisk symplectic ensemble .

Gaussisk enhetlig ensemble  - den mest allmänna ensemblen, består av godtyckliga hermitiska matriser, vars verkliga och imaginära delar av elementen har en Gaussisk fördelning . System som beskrivs av en gaussisk enhetlig ensemble saknar all symmetri - de är icke-invarianta under tidsomkastning (en sådan egenskap besittes till exempel av system i ett externt magnetfält) och icke-invarianta under spinnrotationer.

Den Gaussiska ortogonala ensemblen består av symmetriska reella matriser. Den gaussiska ortogonala ensemblen beskriver system som är symmetriska med avseende på tidsreversering, vilket i praktiska fall innebär frånvaron av ett magnetfält och magnetiska föroreningar i sådana system.

Den Gaussiska symplektiska ensemblen består av hermitiska matriser vars beståndsdelar är kvaternioner . Den Gaussiska symplektiska ensemblen beskriver ett system som innehåller magnetiska föroreningar men inte i ett externt magnetfält.

De viktigaste egenskaperna hos spektrumet av slumpmässiga matriser

Fördelning av egenvärden

Fördelningen av egenvärden för en tillräckligt stor Gaussisk slumpmatris är, i den första approximationen, en halvcirkel ( Wigners lag om halvcirklar ). Wigner-halvcirkellagen är uppfylld i gränsen, i viss mån motsvarande den semiklassiska approximationen i kvantmekaniken , den uppfylls mer exakt, ju större storleken på den analyserade matrisen. Vid en ändlig matrisstorlek har fördelningen av energinivåer Gaussiska "svansar". Halvcirklar erhålls för alla Gaussiska ensembler, på denna nivå ger alla tre ovanstående ensembler likvärdiga fördelningar. Kvalitativa skillnader mellan de tre ensemblerna visar sig på nästa nivå, på nivån för parvisa korrelationsfunktioner av egenvärden.

Egenvärdekorrelationsfunktion

Anteckningar

  1. ↑ Keating et al, 2000 .

Länkar

Litteratur