Toriskt avsnitt

En torisk sektion är en sektion av en torus med ett godtyckligt plan . Särskilda fall av torussnitt, Perseuskurvor , studerades under antiken. Det allmänna fallet studerades av Jean Darboux på 1800-talet. [ett]

Allmän formel

En torisk sektion är en fjärde ordningens plan kurva [1] av formen

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+ax^{2}+by^{2}+cx+dy+e=0.

De fem parametrarna i ekvationen definieras i termer av två parametrar för torus — radierna för de små och stora cirklarna r, R , [2] och i termer av tre parametrar som definierar skärplanet. [3] Om planet inte skär torus, så har ekvationen inga riktiga lösningar.

Exempel

Tvärsnittet av en torus med parametrarna för det bitangenta planet ges av formeln $R,r,(r<R)$

$(x^{2}+y^{2})^{2}-2(R^{2}+r^{2})x^{2}-2(R^{2}-r ^{2})y^{2}+(R^{2}-r^{2})^{2}=0.$

Formeln kan delas upp till en produkt av formler för två cirklar.

Vinkelräta sektioner

Sektioner av en torus med ett plan parallellt med dess axel (vinkelrätt mot cirkelns rotationsplan) kallas spiralsektioner eller Perseus-kurvor. De utforskades av den antika grekiska geometern Perseus omkring 150 f.Kr. e. [4] Sektionen av en torus av ett plan vinkelrätt mot dess axel är en ring .

Villarceaus omkrets

Den mest intressanta sneda delen av torus är delen av det tvåkantiga planet - cirkeln av Villarceau . På ett icke-uppenbart sätt representerar detta avsnitt två korsande cirklar. Punkterna för deras skärningspunkt sammanfaller med kontaktpunkterna mellan sekantplanet och torus. [5]

Anteckningar

↑ 1 2 Sym, Antoni (2009), Darboux's greatest love , Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical vol. 42 (40): 404001 , DOI 10.1088/1751-8113/42/40/404001 .
↑ Torus kan placeras på vilket bekvämt sätt som helst i mitten av koordinaterna.
↑ En parameter (rotationen av sektionen på planet) kan tas bort på grund av torusens centrala symmetri.
↑ Brieskorn, Egbert & Knörrer, Horst (1986), Ursprung och generering av kurvor , Plane algebraic curves , Basel: Birkhäuser Verlag, sid. 2–65, ISBN 3-7643-1769-8 , DOI 10.1007/978-3-0348-5097-1 .
↑ Schoenberg, IJ (1985), A direct approach to the Villarceau circles of a torus, Simon Stevin T. 59 (4): 365–372 .