Parallell vinkel

Parallellitetsvinkeln i Lobachevsky-geometrin är vinkeln mellan den vinkelräta mot den givna linjen och den asymptotiskt parallella linjen ritad från en punkt som inte ligger på den givna linjen.

I euklidisk geometri är parallellismens vinkel alltid rätt.

I Lobachevsky-geometrin är parallellismens vinkel alltid spetsig. På Lobachevsky-planet med krökning −1 betecknas vanligtvis parallellitetsvinkeln för en punkt på avstånd från linjen . $a$ $\Pi (a)$

Egenskaper och relationer

$\Pi (a)$ är en spetsig vinkel vid ett ben lika med , i en rätvinklig hyperbolisk triangel som har två asymptotiska parallella sidor. $a$
$\lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi \quad {\text{ och }}\quad \lim _{a\to \infty }\Pi(a)=0.$

$\sin \Pi (a)=\operatörsnamn {sech} a={\frac {1}{\operatörsnamn {ch} a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{ -a}}}\ ,$

$\cos \Pi (a)=\operatörsnamn {th} a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}} \ ,$

$\operatörsnamn {\rm {tg}} \Pi (a)=\operatörsnamn {csch} a={\frac {1}{\operatörsnamn {sh} a}}={\frac {2}{e^ {a}-e^{-a}}}$

$\operatorname {\rm {tg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{-a},$

$\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi -\operatörsnamn {gd} (a),$

där sh, ch, th, sech och csch är hyperboliska funktioner och gd är Gudermann-funktionen .

Historik

Vinkeln av parallellitet övervägdes av Lobatsjovskij [1] . I synnerhet härledde han förhållandet

\operatörsnamn {\rm {ctg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{a}.

Länkar

↑ Lobachevsky, NI Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallelinien. — Berlin, 1840.

Litteratur

D. Mordukhai-Boltovskoy . Om geometriska konstruktioner i Lobachevsky-rymden // I mem. Lobatschevskii. - 1927. - T. 2 . — S. 67–82 . (ryska)
Lobachevsky , Nikolai Ivanovich Geometriska studier i teorin om parallella linjer . - M. - L .: Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1945. - 176 sid.