Ultrametriskt utrymme

Ett ultrametriskt utrymme är ett specialfall av ett metriskt utrymme där metriken uppfyller den starka triangelolikheten :

{\displaystyle d(x,z)\leqslant \max\{d(x,y),d(y,z)\))

Ett sådant mått kallas ultrametriskt . Enkelt uttryckt, i ultrametriskt utrymme är det omöjligt att få ett större avstånd genom att lägga till mindre, det vill säga att "Archimedes-principen" inte respekteras .

Definition

Ett ultrametriskt utrymme är ett par , där är en mängd och är en verkligt värderad funktion på den, även kallad metrisk , som uppfyller följande villkor: $(M,d)$ $M$ $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$

$d(x,y)\geqslant 0,d(x,y)=0\iff x=y$ ( positiv bestämdhet )
$d(x,y)=d(y,x)$ ( symmetri )
${\displaystyle d(x,z)\leqslant \max\{d(x,y),d(y,z)\))$ ( stark triangelojämlikhet )

Ett ultrametriskt utrymme skiljer sig från ett metriskt genom att triangelolikheten ersätts av en förstärkt triangelolikhet.

Egenskaper

Varje triangel är likbent, och om inte alla dess sidor är lika, så är en kortare än de andra två.
Varje punkt på bollen är dess mittpunkt.
Om två bollar har en gemensam punkt, så sammanfaller de antingen, eller så innehåller den ena helt den andra.
Topologin för ett ultrametriskt utrymme är helt diskontinuerlig .

Exempel

Ett diskret mått (det vill säga avståndet mellan två punkter är 0 om de matchar och 1 om de inte gör det) är en ultrametrisk.
Mätvärdet på är sådant att för , och . $1,2,\dots ,n,\dots$ ${\displaystyle d(n,m)=d_{n))$ $n<m$ $d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant ...d_{n}\geqslant ...\geqslant 0$
En uppsättning ord av godtycklig längd i något alfabet med ultrametrisk angiven som , där är numret på den första symbolen som är annorlunda i orden och . $\Sigma$ ${\displaystyle d(a,b)=2^{-n))$ $n$ $a$ $b$
p-adiska tal bildar ett ultrametriskt utrymme med ett naturligt ultrametriskt.
Modeller utrustade med naturlig ultrametrik uppstår i informationsteorin när man studerar karaktärssekvenser och i fasta tillståndets fysik när man studerar spinglasögon .

Litteratur

B. Becker, S. Vostokov, Yu. Ionin. 2-adiska tal // Kvant . - 1979. - T. 2 . - S. 26-31 .