Feigenbaums mångsidighet

Feigenbaum-universalitet , eller Feigenbaum-Kulle-Tresser-universalitet , är en effekt i teorin om bifurkationer , som består i det faktum att vissa numeriska egenskaper hos kaskaden av periodfördubblade bifurkationer i en enparametersfamilj av unimodala avbildningar visar sig vara oberoende av valet av en viss familj i övergången från vanligt till kaotiskt beteende (och därmed är universella konstanter). Sådana egenskaper visar sig i synnerhet vara gränsen för förhållandena mellan intilliggande parametersegment mellan två periodfördubblingsbifurkationer (kallad Feigenbaum-konstanten $\delta$ ) och Hausdorff-dimensionen av attraktionsanordningen vid kaskadens slutpunkt.

Effekten upptäcktes i numeriska experiment av M. Feigenbaum och samtidigt och oberoende av P. Kulle och C. Tresser; både Feigenbaum och Kulle och Tresser gav en förklaring till denna effekt i termer av att beskriva beteendet hos renormaliseringsoperatören. Motiveringen för detta beteende i fallet med unimodala kartläggningar erhölls först i (rigorösa, men baserade på datorstödda beräkningar) arbete av O. Lanford , och sedan i arbeten av D. Sullivan , C. McMullen och M. Lubitsch med användning av den komplexa tekniken .

Beskrivning av effekten

Feigenbaum-Kulle-Tresser-universaliteten är en effekt som upptäcktes i studien av övergången från regelbundet till kaotiskt beteende i enparameterfamiljer av kartläggningar i synnerhet i studiet av en familj av kartläggningar

f_{\lambda }:[0,1]\to [0,1],\quad x\mapsto \lambda x(1-x)

och familjer

g_{\mu }:[0,1]\till [0,1],x\mapsto \mu \sin \pi x.

Nämligen, i den logistiska familjen av kartläggningar, för små, är atttraktorn för kartläggningen den enda attraherande fasta punkten . Vid , inträffar den första periodens dubbla bifurkation, som ett resultat av vilken den fasta punkten förlorar stabilitet, och istället för den blir en attraherande periodisk omloppsbana av period 2 som uppträder i detta ögonblick en attraktion. Denna omloppsbana förblir stabil med en ytterligare ökning av parametern fram till , varefter nästa periods dubbla bifurkation inträffar, och atttraktorn blir en periodisk omloppsbana av period 4 född vid. I sin tur förlorar denna omloppsbana vid stabilitet, och den födda omloppsbanan av period 8 blir atttraktorn, och så vidare . $\lambda$ $\lambda _{1}=3$ $\lambda _{2}\approx 3{,}449$ ${\displaystyle \lambda =\lambda _{2))$ $\lambda =\lambda _{3}\approx 3{,}544$

Dessa värden ackumuleras till ett visst värde - slutpunkten för kaskaden av bifurkationer. Genom att utföra numeriska experiment fann Feigenbaum att deras ackumulering asymptotiskt ser ut som en geometrisk progression: ${\displaystyle \lambda _{*}=\lim _{n}\lambda _{n))$

\lambda _{*}-\lambda _{n}\sim C\delta ^{-n}.

Ett liknande scenario av övergång från regelbundet till kaotiskt beteende genom en kaskad av periodfördubblingsbifurkationer äger rum för vilken familj av unimodala avbildningar som helst med en negativ Schwartz-derivata ; efter att ha satt upp experiment för en annan enparameterfamilj av unimodala mappningar, upptäckte Feigenbaum [1] att i detta fall ackumuleras bifurkationsmomenten till gränsen asymptotiskt som en geometrisk progression, $g_{\mu }:x\mapsto \mu \sin \pi x,$ $\mu _{n}$ $\mu _{*}$

\mu _{*}-\mu _{n}\sim C'\delta ^{-n},

dessutom med samma nämnare som för logistikfamiljen . I detta avseende antog han att ett sådant beteende hos bifurkationsmomenten är universellt - det beror inte på valet av en specifik enparameterfamilj; konstanten kallades Feigenbaum-konstanten . $\delta ^{-1}$ $\delta \approx 4{,}669...$

Förklaring: renormalisering

Berättigandet av universalitetseffekten är baserad på beskrivningen av dynamiken i renormaliseringstransformationen på utrymmet för unimodala avbildningar av ett intervall i sig själv. Man kan nämligen under vissa förutsättningar på den unimodala mappningen f peka ut ett intervall som mappar in i sig själv efter två iterationer, och mappningen av den första returen till vilken också kommer att vara unimodal. En linjär förändring av skalan efter detta gör att vi kan betrakta kartan över den första returen igen som en karta över det ursprungliga intervallet in i sig själv; en sådan transformation, som jämför den ursprungliga kartläggningen itererad med en skalförändring, kallas renormalisering. $\mathcal{R}$ $[-1,\;1]$ $[-1,\;1]$

Förklaringen av universalitetseffekten som föreslagits av Feigenbaum och Kulle-Tresser baserades på det faktum att renormaliseringstransformationen har en enda fixpunkt , vilket således uppfyller Feigenbaum-Tsitanovitch-ekvationen $g$

g(x)=-{\frac {1}{\alpha }}g(g(\alpha x)),

var är omskalningskonstanten. $\alfa$

Denna fasta punkt är hyperbolisk, och dess instabila grenrör är endimensionellt, och den skär ytan i kartläggningsutrymmet som motsvarar periodens fördubblingsbifurkation. Tvärtom, den stabila mångfalden av denna punkt har kodimension ett (i det oändliga dimensionella rummet av unimodala avbildningar), och en typisk enparametersfamilj av avbildningar - i synnerhet en kvadratisk familj - skär den tvärs över.

Sedan är den asymptotiska hastigheten med vilken momenten av periodfördubblingsbifurkationerna närmar sig gränsen exponentiell, med nämnaren reciprok till det större än 1 lineariseringsegenvärde vid punkten . I synnerhet följer fenomenet universalitet härifrån: denna hastighet bestäms av ett stort 1-egenvärde och beror inte på valet av en enskild familj. $\lambda_n$ $\lambda _{*}$ $\mathcal{R}$ $g$

Bevis på Feigenbaum-Kulle-Tresser-förmodan

Konsekvenser

Öppna nummer

Historik

1976 publicerades R. M. Mays verk, vars utgångspunkt var frågor om befolkningsdynamik; Som en matematisk modell betraktade vi dynamiska system på ett segment som motsvarar flera olika unimodala mappningar, inklusive den logistiska. Det motiverade intresset för studier av sådana kartläggningar och bifurkationer i deras enparameterfamiljer, och 1978 upptäckte M. Feigenbaum och samtidigt och oberoende P. Kulle och C. Tresser universalitetseffekten i numeriska experiment och föreslog dess förklaring genom en beskrivning av dynamiken hos renormaliseringsoperatören.

Snart, 1984, bevisar O. Lanford denna egenskap rigoröst, men hans bevis förlitar sig mycket på datorberäkningar.

Länkar

Universellt beteende i dynamiska system , Springer Encyclopaedia of Mathematics .
Anteckning av M. Yampolskys kurs
Weisstein, Eric W. Feigenbaum Constant (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Videoinspelning av A. Avilas tal vid International Congress of Mathematicians , Hyderabad, 2010.

Litteratur

↑ E. B. Vul, Ya. G. Sinai, K. M. Khanin, Feigenbaum universality and thermodynamic formalism, Uspekhi Mat. Nauk, 39:3 (237) (1984), sid. 3-37 - s.4.

RM May, Enkla matematiska modeller med mycket komplicerad dynamik, Nature 261 (1976), 459-467.
P. Coullet, C. Tresser, Itérations d'endomorphismes et groupe de rénormalisation , Journal de Physique Colloques 39:C5 (1978), sid. 25-28.
C. Tresser och P. Coullet, Iterations d'endomorphismes et groupe de renormalisation, CR Acad. sci. Paris 287A (1978), sid. 577-580.
MJ Feigenbaum, Kvantitativ universalitet för en klass av icke-linjära transformationer, J. Statist. Phys. 19 (1978), 25-52.
MJ Ferigenbaum, De universella metriska egenskaperna hos icke-linjära transformationer, J. Statist. Phys. 21 (1979), 669-706.
OE Lanford III, Ett datorstödt bevis på Feigenbaums gissningar , Bull. AMS. 6 :3 (1984), sid. 427-434
J.P. Eckmann The Mechanism of Feigenbaum Universality , Proceedings of the International Congress of Mathematicians , Berkeley, Kalifornien, USA, 1986.
M. Lyubich, Feigenbaum-Coullet-Tresser Universality and Milnor's Hairiness Conjecture , Annals of Mathematics , 149 (1999), pp. 319-420.
J. Milnor , Självlikhet och hårighet i Mandelbrot-uppsättningen, i Computers in Geometry and Topology, Lect. Anteckningar i Pure och Appl Math. 114 (1989), 211-257
E.B. Vul, Ya.G. Sinai och K.M. Khanin, Feigenbaum universality and thermodynamic formalism , Russian Math .
V. I. Arnol'd , Ytterligare kapitel i teorin om vanliga differentialekvationer, red. 2:a.