Enhetligt utrymme

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 november 2021; kontroller kräver 6 redigeringar .

Ett enhetligt utrymme är ett vektorrum över fältet av komplexa tal med en positiv-definitiv [1] [2] Hermitisk skalärprodukt , en komplex analog av det euklidiska utrymmet .

Definition

Den hermitiska skalära produkten i ett vektorrum över fältet av komplexa tal är en en och en halv linjär form som uppfyller det ytterligare villkoret [3] : $\mathbb {L}$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$

$(\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }},$ var är den universella kvantifieraren . $\för alla$

Med andra ord betyder detta att funktionen uppfyller följande villkor [3] : $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$

1) linjäritet hos den skalära produkten med avseende på det första argumentet:

\forall \mathbf {x_{1},x_{2},y} \in \mathbb {L}

och jämlikheterna är sanna:

\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {C}

\langle \alpha \mathbf {x} _{1}+\beta \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle =\alpha \langle \mathbf {x} _{1} ,\mathbf {y} \rangle +\beta \langle \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle ;

(ibland i definitionen tar de linearitet i det andra argumentet istället, vilket inte är viktigt, eftersom de på grund av villkoret är likvärdiga) $(\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}$

2) den eremitiska egenskapen hos skalärprodukten:

\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L}

rättvis jämlikhet

\mathbf {\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle ))} ;

3) positiv definititet av den skalära produkten:

(\forall \mathbf {x} \in \mathbb {L} )

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \in \mathbb {\mathbb {R} }

och bara när

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \geq 0,

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle =0

\mathbf {x=0} .

Egenskaper

Över ett verkligt utrymme är sesquilinearitetstillståndet ekvivalent med bilinjäritet och Hermitianitet med symmetrier, och den inre produkten blir en positiv-definitiv bilinjär symmetrisk funktion . $\langle \cdot ,\cdot \rangle :{\mathbb L}\times {\mathbb L}\to \mathbb{R}$
En sesquilinjär form är hermitisk om och endast om [3] , när funktionen för alla vektorer endast tar reella värden. $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $x\in {\mathbb L}$ $f(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle$

Skillnader från det euklidiska rummet

Unitära rum har alla egenskaper hos euklidiska rum förutom fyra skillnader: [4]

$(\mathbf {x} ,\alpha \mathbf {y} )={\overline {\alpha }}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} );$
Cauchy-Bunyakovsky ojämlikhet : $\left|\mathbf {(x,y)} \right|^{2}\leqslant \mathbf {(x,x)(y,y)} ;$
begreppet en vinkel har ingen materiell innebörd;
Grammatrisen för ett system av vektorer är hermitisk $\Gamma (f)=f^{T}f$ $f$ $\Gamma =\Gamma ^{*}.$

Litteratur

Gelfand I. M. föreläsningar om linjär algebra, Moskva: Nauka, 1971.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.

Anteckningar

↑ A. I. Kostrikin, Yu. I. Manin. Linjär algebra och geometri. - S. 126.
↑ A. E. Umnov. Analytisk geometri och linjär algebra. - Moskva: MIPT, 2011. - S. 400.
↑ 1 2 3 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. - kap. VI, § 6.3. — M.: Fizmatlit, 2009.
↑ Shikin E. V. Linjära utrymmen och avbildningar. - M., Moscow State University , 1987. - sid. 51-52