Ekvation med en liten parameter

En ekvation med en liten parameter är en skalär eller vektordifferentialekvation där det finns en koefficient , som är liten jämfört med andra. Denna parameter kan vara på höger sida av differentialekvationen, och man talar om en regelbunden störning av ekvationen. Dessutom kan en liten parameter stå vid den högsta derivatan, i vilket fall man talar om en singulär störning.

Regelbundet stört Cauchy-problem (initialt problem):

{\begin{cases}{\dfrac {dy}{dt}}=f(y,t,\varepsilon ),&t\in (0,T]\\y(0,\varepsilon )=y^ {0}\end{cases}}

under vissa förhållanden på höger sida finns dess lösning, är unik och har dessutom ett kontinuerligt beroende av den lilla parametern . $\varepsilon$

För att lösa ekvationer med en liten parameter i matematisk fysik används speciella metoder. Detta beror på förekomsten av olika effekter, inklusive gränsskiktseffekten .

Ibland förstås en ekvation med en liten parameter också som en ekvation där en liten parameter står vid normalderivatan i det naturliga randvillkoret.

Ofta i applikationer finns det problem där en liten parameter är på den högsta derivatan, till exempel:

{\begin{cases}\varepsilon {\dfrac {dy}{dt}}=f(y,t,\varepsilon ),&t\in (0,T]\\y(0,\varepsilon )= y^{0}\end{cases}}

Ett sådant problem brukar kallas singularly perturbed. Om vi formellt sätter en liten parameter lika med noll, kommer den första ekvationen i systemet att upphöra att vara differential. Av denna anledning kanske lösningen av ekvationen inte uppfyller det initiala värdet . Det är i sådana problem som gränsskiktseffekten kan observeras. Lösningen nära grannskapet till höger genomgår en kraftig förändring. Denna region kännetecknas av stora gradienter och kallas ofta för gränsskiktsregionen. Asymptotiska metoder används för att lösa sådana system. De mest kända av dem är Tikhonov- metoden och Vasilyeva-metoden . $0=f(y,t,0)$ $y^{0}$ $t=0$

Litteratur

Differentialekvationer med en liten parameter vid derivator - artikel från Encyclopedia of Mathematics . A. V. Vasilyeva