Blochs ekvationer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 januari 2017; kontroller kräver 5 redigeringar .

Makroskopiska ekvationer som används för att beräkna kärnmagnetiseringen M = ( M x , M y , M z ) som funktion av tiden med relaxationstiderna T 1 och T 2 . De används ofta inom sådana grenar av fysiken som NMR , MRI och EPR . Uppkallad efter Nobelprisvinnande fysikern Felix Bloch , som först introducerade dem 1946 [1] . I litteraturen kallas de ibland för kärnmagnetiseringens rörelseekvationer .

Ekvationer i laboratoriets (stationära) koordinatsystem

Låt M ( t ) = ( M x ( t ), M y ( t ), M z ( t )) vara kärnmagnetiseringen. Då har Bloch-ekvationerna följande form:

{\frac {dM_{x}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x}-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}}

{\frac {dM_{y}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y}-{\frac {M_{y}(t)}{T_{2}}}

{\frac {dM_{z}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z}-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}

här är γ det gyromagnetiska förhållandet , och B ( t ) = ( B x ( t ), B y ( t ), B 0 + Δ B z (t)) är den magnetiska fältstyrkan på kärnan. Z -komponenten för vektorn B är summan av en konstant ( Bo ) och en tidsvarierande ΔBz ( t ), som används speciellt för den rumsliga upplösningen av NMR-signalen. × är tecknet på korsprodukten av vektorer. M 0 - stationärt värde för kärnmagnetiseringen (till exempel vid t → ∞) längs det externa applicerade fältet.

Fysisk motivering

Blochs ekvationer är fenomenologiska . I frånvaro av relaxation (det vill säga vid T 1 och T 2 → ∞), förenklas Bloch-ekvationerna till:

{\displaystyle {\frac {dM_{x}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x))

{\displaystyle {\frac {dM_{y}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y))

{\displaystyle {\frac {dM_{z}(t)}{dt))=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t)))_{z))

eller i vektornotation:

{\frac {d\mathbf {M} (t)}{dt))=\gamma \mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t)

Detta är ekvationen för Larmor-precessionen av kärnmagnetiseringen M runt ett externt applicerat fält B.

Medlemmar

\left(-{\frac {M_{x}}{T_{2}}},-{\frac {M_{y}}{T_{2}}},-{\frac {M_{z }-M_{0}}{T_{1}}}\right)

motsvarar processen för longitudinell och tvärgående relaxation av kärnmagnetiseringen M .

Blochs ekvationer är makroskopiska : de är rörelseekvationerna för den makroskopiska kärnmagnetiseringen, som kan erhållas genom att addera de individuella kärnmagnetiska momenten i ett prov. De är inte lämpliga för att beskriva beteendet för varje magnetiskt moment.

Alternativ form av Bloch-ekvationerna

Efter att ha öppnat fästena på korsprodukten och infört M xy , B xy enligt

M_{xy}=M_{x}+iM_{y}{\text{ och }}B_{xy}=B_{x}+iB_{y}

, vi får

{\frac {dM_{xy}(t)}{dt))=-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_ {xy}(t)\höger)-{\frac {M_{xy}}{T_{2}}}

{\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=i\gamma \left(M_{xy}(t){\overline {B_{xy}(t)))-{\overline {M_{xy}}}(t)B_{xy}(t)\höger)-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}

Här är i = √(-1) och : . ${\overline {M_{xy}}}=M_{x}-iM_{y}$

De reella och imaginära delarna av M xy motsvarar M x och M y . M xy kallas också ibland för tvärgående kärnmagnetisering .

Blochs ekvationer i ett roterande koordinatsystem

I frånvaro av relaxation ( T 1 och T 2 → ∞) och ett konstant yttre fält riktat längs z-axeln ( B ( t ) = (0, 0, B 0 ), är lösningarna av Bloch-ekvationerna

{\displaystyle M_{xy}(t)=M_{xy}(0)e^{-i\gamma B_{0}t))

M_{z}(t)=M_{0}={\text{const))

Således roterar den tvärgående magnetiseringen M xy runt z-axeln med en vinkelfrekvens ω 0 = γ B 0 moturs. Den longitudinella magnetiseringen Mz förblir konstant i tiden. Om vi byter till ett koordinatsystem som roterar med en frekvens Ω (vars val kan bestämmas till exempel av frekvensen för ett externt variabelt fält ΔВ ), så kommer lösningen i det att representeras som:

M_{z}'(t)=M_{z}(t)

M_{xy}'(t)=e^{+i\Omega t}M_{xy}(t)

Rörelseekvationer för transversell magnetisering i ett roterande koordinatsystem

Genom att ersätta uttrycket från föregående avsnitt får vi:

{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))={\frac {d\left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)}{ dt}}=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega e^{+i\Omega t}M_{xy}=e^{ +i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega M_{xy}'

Bloch-ekvationerna i ett roterande koordinatsystem har formen:

{\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))&=e^{+i\Omega t}\left[-i\gamma \left(M_{xy }(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\höger)-{\frac {M_{xy}}{T_{2}}}\right]+ i\Omega M_{xy}'=\\&=\left[-i\gamma \left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}B_{z}(t)-M_{z }(t)B_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)-{\frac {M_{xy}e^{+i\Omega t}}{T_{2}}}\ höger]+i\Omega M_{xy}'=\\&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)B_{z}'(t)-M_{z}'(t)B_{ xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\end{aligned}}

Med hänsyn till den tidigare accepterade representationen av magnetfältets styrka som summan av de konstanta och variabla komponenterna ( B z ′( t ) = B z ( t ) = B 0 + Δ B z ( t )) tar ekvationerna slutligen form:

{\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)(B_{0}+\ Delta B_{z}(t))-M_{z}(t)B_{xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_ {2}}}=\\&=-i\gamma (t)B_{0}M_{xy}'-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\ gamma B_{xy}'(t)M_{z}(t)+i\Omega M_{xy}'-{\frac {M_{xy}'}{T_{2))}\\&=i(\ Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t) M_{z}(t)-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}\\\end{aligned}}

Termer på höger sida:

i (Ω - ω) M xy ′( t ) - Larmorrotation i ett koordinatsystem som roterar med vinkelfrekvensen Ω relativt laboratoriet. Vänds till noll vid Ω = ω 0 .
- i γ Δ B z ( t ) M xy ′ ( t ) bestämmer påverkan av magnetfältets inhomogenitet längs z-axeln (beroende av Δ B z ( t )) på den tvärgående kärnmagnetiseringen.
i γ Δ B xy ′ ( t ) M z ( t ) bestämmer beteendet hos den tvärgående magnetiseringen när ett alternerande tvärgående magnetfält ( Δ B xy ′ ( t ) ) appliceras på kärnmagnetiseringen. Används för att beskriva effekterna av pulsad NMR .
- M xy ′( t ) / T 2 beskriver minskningen av koherensen av den tvärgående magnetiseringen med tiden.

Enkla lösningar på Blochs ekvationer

Avslappning av den tvärgående kärnmagnetiseringen M xy

Anta:

Det externa magnetfältet är konstant och appliceras längs z-axeln ( Bz ′ ( t ) = Bz ( t ) = B 0 ) . Då ω 0 = γ B 0 , Δ B z ( t ) = 0 och B xy ' = 0.
Koordinatsystemet roterar i förhållande till laboratoriet med en frekvens Ω = ω 0 .

Sedan, i ett roterande koordinatsystem, förenklas rörelseekvationen för den tvärgående magnetiseringen M xy '( t ) till:

{\displaystyle {\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))=-{\frac {M_{xy}'}{T_{2))))

Lösning på denna ekvation:

M_{xy}'(t)=M_{xy}'(0)e^{-t/T_{2}}

där M xy '(0) är den tvärgående magnetiseringen vid t = 0. När RCS-frekvensen exakt sammanfaller med Larmor-frekvensen (Ω = ω 0 ), är den tvärgående magnetiseringsvektorn konstant.

π/2 och π impulser

Låt oss låtsas att:

Det longitudinella magnetfältet är konstant och appliceras längs z-axeln. Det vill säga Bz ′( t ) = Bz ( t ) = Bo , ω0 = γB0 och ΔBz ( t ) = 0 .
Vid tidpunkten t = 0, appliceras ett alternerande tvärgående magnetfält med en frekvens ω 0 på provet .
Koordinatsystemet roterar i förhållande till laboratoriet med en frekvens Ω = ω 0 .

{\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt))=i(\Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\ gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}(t)-{\frac {M_{xy}'}{T_ {2}}}\end{aligned}}

Genom att variera appliceringstiden för växelfältet är det möjligt att uppnå precession av kärnmagnetiseringen genom vinklarna π/2 och π. Som ett resultat kan man till exempel observera spinekoeffekten .

Avslappning av den longitudinella kärnmagnetiseringen M z

Länkar

↑ F Bloch , Nuclear Induction , Physics Review 70 , 460-473 (1946)

Litteratur

Charles Kittel , Introduction to Solid State Physics , John Wiley & Sons, 8:e upplagan (2004), ISBN 978-0-471-41526-8 . Kapitel 13 handlar om magnetisk resonans.

Abraham A. Kärnmagnetism, M.: Izdatelstvo inostr. lit., 1963.
Slikter Ch. Fundamentals of theory of magnetic resonance, M.: Mir, 1981.