Dehn-Sommervilles ekvationer

Dehn-Somerville-ekvationerna är en komplett uppsättning linjära relationer för antalet ytor av olika dimensioner i en enkel polyeder . Dessa ekvationer kan skrivas om för enkla polytoper eftersom de senare är dubbla till enkla polytoper.

Formulering

För en given enkeldimensionell polyeder , beteckna med antalet ytor av dimension ; i synnerhet, . Tänk på den formella summan $n$ $P$ $f_{k}$ $P$ $k$ $f_{n}=1$

{\displaystyle \sum _{k}f_{k}\cdot (t-1)^{k}=\sum _{k}h_{k}\cdot t^{k))

där , det vill säga koefficienterna uppstår naturligt när man öppnar parenteserna för den vänstra summan. $h_{k}=\sum _{i\geqslant k}f_{i}(-1)^{ik}{\binom {i}{k))$ ${\displaystyle h_{k))$

Då har Dehn-Somervilles ekvationer formen

{\displaystyle h_{k}=h_{nk))

för varje heltal . $k$

Relaterade definitioner

Sekvensen kallas f-vektorn för polyedern. $(f_{0},f_{1},\dots ,f_{n})$
Sekvensen kallas h-vektorn för polyedern. $(h_{0},h_{1},\dots ,h_{n})$
- Om är en linjär funktion i allmän position, det vill säga alla hörn av polyedern ligger på olika nivåer , då är det lika med antalet hörn av indexet ; det vill säga exakt kanter från denna vertex går ner längs . Dehn-Somervilles ekvationer erhålls genom att ersätta med . $\ell \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $P$ $\aln$ ${\displaystyle h_{k))$ $P$ $k$ $k$ $\aln$ $\aln$ $-\ell$
  - Dessutom får vi för alla , detta ger icke-triviala ojämlikheter för -vektorn. $h_{k}\geqslant 0$ $k$ $f$

Historik

I dimensionerna 4 och 5 beskrevs relationerna av Max Dehn [1] . I det allmänna fallet beskrevs ekvationerna av Duncan Somerville 1927.

Anteckningar

↑ M. Dehn, 1905, "Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie", Math. Ann 61 (1905), 561-586

Litteratur

V. A. Timorin. Kombinatorik av konvexa polyedrar . - MTSNMO, 2002. - (Sommarskola "Modern Mathematics"). — ISBN 5-94057-024-0 .