Bernoulli formel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 november 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Bernoullis formel är en formel inom sannolikhetsteorin som låter dig hitta sannolikheten för att en händelse inträffar ett visst antal gånger för ett valfritt antal oberoende försök. Bernoulli-formeln låter dig bli av med ett stort antal beräkningar - addition och multiplikation av sannolikheter - med ett tillräckligt stort antal tester. Uppkallad efter den framstående schweiziske matematikern Jacob Bernoulli , som utvecklade denna formel. $A$

Formulering

Sats. Om sannolikheten för att någon händelse inträffar i varje försök är konstant, är sannolikheten att denna händelse inträffar exakt en gång i oberoende försök lika med , där . [ett] $sid$ ${\displaystyle P_{n}^{k))$ $k$ $n$ ${\displaystyle P_{n}^{k}=C_{n}^{k}p^{k}q^{nk))$ $q=1-p$

Bevis

Låt oberoende försök utföras, och det är känt att som ett resultat av varje försök inträffar en händelse med sannolikhet och därför inte inträffar med sannolikhet . Låt också under testning av sannolikheterna och förbli oförändrade. Vad är sannolikheten att, som ett resultat av oberoende försök, en händelse inträffar exakt en gång? $n$ $A$ $P(A)=p$ $P({\bar {A)))=1-p=q$ $sid$ $q$ $n$ $A$ $k$

Det visar sig att det är möjligt att exakt beräkna antalet "framgångsrika" kombinationer av testresultat för vilka händelsen inträffar en gång i oberoende försök - exakt detta är antalet kombinationer av med : $A$ $k$ $n$ $n$ $k$

C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(nk)!}}.

Samtidigt, eftersom alla försök är oberoende och deras resultat är oförenliga (en händelse inträffar antingen eller inte), så är sannolikheten att få en "framgångsrik" kombination exakt lika med . $A$ ${\displaystyle p^{k}q^{nk))$

Slutligen, för att hitta sannolikheten att en händelse inträffar exakt en gång i oberoende försök måste du lägga till sannolikheterna för att få alla "lyckade" kombinationer. Sannolikheterna för att få alla "framgångsrika" kombinationer är desamma och lika , antalet "lyckade" kombinationer är lika med , så vi får till slut: $n$ $A$ $k$ ${\displaystyle p^{k}q^{nk))$ $C_{n}^{k}$

P_{n}^{k}=C_{n}^{k}p^{k}q^{nk}=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^ {nk}.

Det sista uttrycket är inget annat än Bernoullis formel. Det är också användbart att notera att det kommer att vara sant på grund av händelsegruppens fullständighet

\sum _{k=0}^{n}(P_{n}^{k})=1.

Se även

Anteckningar

↑ Gmurman V. E. Sannolikhetsteori och matematisk statistik: lärobok för ungkarlar . - 12:e upplagan. - M. : Yutypz, 2013. - 478 sid. — ISBN 9785991626477 , 5991626472.

Länkar

Upprepning av tester. Bernoulli formel