Binet formel (mekanik)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 april 2020; kontroller kräver 4 redigeringar .

Binets formel är en differentialekvation som låter dig bestämma den centrala kraften om du känner till ekvationen för banan för en materialpunkt som rör sig under dess verkan, eller bestämmer banan från en given central kraft.

Formulering

Låt en materiell punkt med massa röra sig under inverkan av en central kraft . Sedan i det polära koordinatsystemet , $m$ $\vec{F}$ $r$ $\varphi$

{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right)+{\frac {1}{r}} =-{\frac {F_{r}}{mc^{2}}}r^{2}.

Här är den så kallade areakonstanten. $c$

Slutsats

Betrakta rörelsen av en materiell punkt under inverkan av en central kraft . Rörelseekvationen för en punkt i projektioner på polaxlarna , , där . Radiell acceleration , transversell acceleration . Vi får ,. Låt oss omvandla den andra ekvationen: . Därför: , där kallas en konstant för areakonstanten. Genom att ersätta värdet från in i ekvationen får vi . Vi hittar successivt , . Ersätter vi med , finner vi . $m$ $\vec{F}$ $m{\vec {w}}={\vec {F}}$ ${\displaystyle mw_{r}=F_{r))$ $mw_{\varphi }=F_{\varphi }$ $F_{\varphi }=0$ $w_{r}={\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}$ $w_{\varphi }={\ddot {\varphi }}r+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}$ $m({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2})=F_{r}$ $m({\ddot {\varphi }}r+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }})=0$ $({\ddot {\varphi }}r+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }})={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dt ))(r^{2}{\dot {\varphi )))=0$ $r^{2}{\dot {\varphi }}=c$ $c$ ${\dot {\varphi ))$ $r^{2}{\dot {\varphi }}=c$ $m({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2})=F_{r}$ $m\left({\ddot {r}}-{\frac {c^{2}}{r^{3}}}\right)=F_{r}$ ${\dot {r}}={\frac {dr}{d\varphi }}{\dot {\varphi }}={\frac {c}{r^{2}}}{\frac { dr}{d\varphi }}=-c{\frac {d}{d\varphi }}\left({\frac {1}{r}}\right)$ ${\ddot {r}}={\frac {d{\dot {r}}}{dt}}={\frac {d{\dot {r}}}{d\varphi }}{\ punkt {\varphi }}=-{\frac {c^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}\left({ \frac {1}{r}}\right)$ ${\ddot {r))$ $m\left({\ddot {r}}-{\frac {c^{2}}{r^{3}}}\right)=F_{r}$ ${\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right)+{\frac {1}{r}} =-{\frac {F_{r}}{mc^{2}}}r^{2}$

Se även

Litteratur

Moses Iosifovich Bat. Teoretisk mekanik i exempel och problem: dynamik . - Nauka, 1968. - S. 14. - 632 sid.
Mikhail Mikhailovich Gernet. Kurs i teoretisk mekanik . - Högre skolan, 1973. - S. 325. - 461 sid.
Zhukovsky NE Analytisk mekanik . - Imperial Moscow Technical School , 1910. - 262 sid. — ISBN 9785446096053 .

Anteckningar

↑ Bugaenko G. A. , Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Grunderna i klassisk mekanik. - M .: Högre skola, 1999. - S. 86-87. — ISBN 5-06-003587-5