Formel Cardano

Cardano- formeln är en formel för att hitta rötterna till den kanoniska formen av en kubikekvation

y^{3}+py+q=0

över fältet av komplexa tal . Den är uppkallad efter den italienske matematikern Gerolamo Cardano , som publicerade den 1545 [1] . År 1545 anklagade Niccolo Tartaglia Cardano för plagiat: den senare avslöjade i avhandlingen Ars Magna en algoritm för att lösa kubiska ekvationer, anförtrodd honom av Tartaglia 1539 under ett löfte att inte publicera. Även om Cardano inte tillskrev sig själv algoritmen och ärligt uppgav i boken att författarna var Scipio del Ferro och Tartaglia, är algoritmen nu känd under det oförtjänta namnet "Cardanos formel" [2] .

Varje kubikekvation av allmän form

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

genom att ändra variabeln

x=y-{\frac {b}{3a}}

kan reduceras till ovanstående kanoniska form med koefficienterna

p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2} }},

q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.

Formel

Låt oss definiera värdet [3] :

$Q=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}.$

Om alla koefficienter för en kubikekvation är reella , så är Q också reell, och dess tecken kan användas för att bestämma typen av rötter [3] :

Q > 0 — en reell rot och två konjugerade komplexa rötter.
Q = 0 är en enkel reell rot och en dubbel reell rot, eller, om p = q = 0, då en trippel reell rot.
Q < 0 är tre riktiga rötter. Detta är det så kallade " oreducerbara " fallet, och det var i analysen av denna situation som begreppet ett komplext tal först uppstod historiskt, eftersom det verkliga resultatet erhålls genom en formel som använder komplexa tal [3] .

Enligt Cardanos formel är rötterna till en kubisk ekvation i kanonisk form:

$y_{1}=\alpha +\beta ,$

$y_{{2,3}}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}\pm i{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\sqrt {3}},$

var

\alpha ={\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {Q}}}},

\beta ={\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {Q}}}},

I detta fall är diskriminanten för polynomet lika med . $y^{3}+py+q$ $\Delta=-108Q$

Genom att tillämpa dessa formler, för vart och ett av de tre värdena är det nödvändigt att ta ett för vilket villkoret är uppfyllt (ett sådant värde finns alltid). $\alfa$ $\beta$ $\alpha \beta=-p/3$ $\beta$

Om den kubiska ekvationen är verklig, rekommenderas det att välja verkliga värden när det är möjligt . $\alfa ,\beta$

Slutsats

Vi representerar ekvationen i formen

\prod _{{i=1}}^{3}(y-y_{i})=0\qquad (1)

var är rötterna till ekvationen. Sedan $y_{i}$

\prod _{{i=1}}^{3}(y_{i})=-q.\qquad (2)

Låt oss acceptera:

\ -q=\alpha ^{3}+\beta ^{3}\qquad (3)

När vi sedan löser ekvation (3) får vi

\ -q=(\alpha +\beta )(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta )\qquad (4)

En av rötterna kommer att vara . Om vi ersätter den med den ursprungliga ekvationen får vi: $\ y=\alfa +\beta$

\alpha ^{3}+\beta ^{3}+(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )+q=0

Genom att ersätta q från (3) kommer vi fram till systemet:

\left\{{\begin{matrix}(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matris }}\höger.

När vi vet att summan i det allmänna fallet inte är lika med noll får vi systemet

\alfa +\beta

\left\{{\begin{matrix}(3\alpha \beta +p)=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matris}}\höger.

vilket är likvärdigt med systemet

\left\{{\begin{matrix}\alpha ^{3}\beta ^{3}=-{p^{3} \över 27}=m\\\alpha ^{3}+\beta ^{3 }=-q=-n\end{matris}}\höger.

Det senare är Vietas formler för två rötter och en andragradsekvation: $\alpha ^{3}$ $\beta ^{3}$

\z^{2}+nz+m=0

De återstående två rötterna hittas genom att faktorisera polynomet

\ \alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta

Se även

Litteratur

Gusak A. A., Gusak G. M., Brichikova E. A. Handbok för högre matematik i två volymer. - Minsk: Tetrasystems, 1999. - 640 sid. — ISBN 985-6317-51-7 .
Korn G., Korn T. Handbok i matematik (för forskare och ingenjörer) . - M . : Nauka, 1973. - 720 sid.

Anteckningar

↑ Stillwell D. Matematik och dess historia . - Moskva-Izhevsk: Institutet för datorforskning, 2004. - S. 101. - 530 s. Arkiverad 21 oktober 2014 på Wayback Machine Arkiverad kopia (länk ej tillgänglig) . Hämtad 20 maj 2020. Arkiverad från originalet 21 oktober 2014. (obestämd)
↑ Stillwell D. Matematik och dess historia. - Moskva-Izhevsk: Institutet för datorforskning, 2004. - S. 101. - 530 s.
↑ 1 2 3 Handbok i högre matematik, 1999 , sid. 144.

Formel Cardano

Formel

Se även

Litteratur

Anteckningar

Länkar