Formel Cardi

Cardi- formeln är en formel för den begränsande nedbrytningssannolikheten i det tvådimensionella perkolationsproblemet . Förutspådd i början av 1990-talet av Cardy baserat på konforma fältteoretiska resonemang anger den att den marginella sannolikheten för sammanbrott mellan bågar gränsen för en enkelt ansluten domän i det kritiska perkolationsproblemet är $[a,b]$ $[CD]$ $\Omega$

\Pi (\Omega ;[a,b],[c,d])={\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3)\Gamma (4/3)))\eta ^{{1/3}}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3)),{\frac {2}{3));{\frac {4}{ 3)),\eta \right)=1-{\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3)\Gamma (4/3)))(1-\eta )^{{ 1/3)){}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3)),{\frac {2}{3));{\frac {4}{3)) ,1-\eta\right),

där är den hypergeometriska funktionen och är dubbelförhållandet ${}_{2}F_{1}$ $\eta$

\eta ={\frac {x_{4}-x_{3}}{x_{3}-x_{1}}}:{\frac {x_{4}-x_{2}}{x_{2}- x_{1}}}

fyra bilder av punkter under den konforma kartläggningen av regionen i det övre halvplanet . [1] [2] [3] $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ $a,b,c,d$ $\Omega$

Denna formel omformulerades av Lennart Carleson [4] i följande form: om en karta som konformt omvandlar regionen till en regelbunden triangel med sidan 1, och punkterna , och till hörnen på denna triangel, omvandlar punkten till en punkt som ligger på ett avstånd från bildpunkten , då är den önskade sannolikheten [5] [2] . $\Omega$ $a$ $b$ $c$ $d$ $x$ $c$ $x$

För fallet med ett triangulärt gitter, bevisades denna formel rigoröst i början av 2000-talet av Stanislav Smirnov med hjälp av tekniken för diskreta harmoniska funktioner . [5] [2] [6]

Formel

Historisk bakgrund

Frågan om nedbrytningssannolikheten för en specifik (tredimensionell) modell (svarta och vita bollar packade i en låda av en given storlek) ställdes redan 1894 , i American Mathematical Monthly magazine . De Volson Wood föreslog [7] följande problem:

Lika många vita och svarta bollar av samma storlek kastas i en

rektangulär låda, vad är sannolikheten för att det kommer att finnas sammanhängande kontakt av vita bollar från ena änden av lådan till den motsatta änden? Som ett speciellt exempel, anta att det finns 30 bollar i lådans längd, 10 i bredden och 5 (eller 10)

lager djupa

Det är värt att notera att P. H. Philbricks lösning som publicerades i detta nummer var ungefärlig (den antog att förekomsten av nedbrytning i en rät linje var mest trolig); på samma ställe erbjöd sig redaktionen att publicera den exakta lösningen om någon hittar den. Som vi nu vet var antagandet som gjordes i den ungefärliga lösningen långt ifrån sanningen. [fyra]

År 1957 lade Broadbent och Hammersley grunden till den matematiska teorin om perkolation i sitt arbete [8] , utgångspunkten för detta var studiet av gasläckage genom kolfiltret på en gasmask [9] .

I början av 1990-talet visas arbetet av Langlands et al. [10] [11] , där olika nedbrytningssannolikheter i ett rektangulärt område studeras för sex olika modeller, och det visar sig att (inom numeriska experiments noggrannhet) dessa funktioner för olika modeller sammanfaller. Dessutom lägger Aizenman[12] [13] en gissning om den konforma invariansen av nedbrytningssannolikheten.

Nästan direkt efter det kommer Cardi med sin formel för utbrottssannolikheten. [ett]

Förklaring av problemet

Cardi-formeln ger svaret på nedbrytningsproblemet. Vi betraktar nämligen en enkelt sammankopplad domän på planet, med fyra markerade punkter på gränsen. För varje , är detta område approximerat av ett gitter med ett steg (eller skala) - beroende på problemet, kvadratiskt, triangulärt eller mer komplext; detta resulterar i en graf med markerade punkter . $\Omega$ $a,b,c,d$ $\delta>0$ $\delta$ $\Omega ^{{\delta ))$ $a^{\delta },b^{\delta},c^{\delta},d^{\delta}$

För varje , hittas sannolikheten för en uppdelning i denna graf. Grafens hörn är nämligen oberoende, var och en med en sannolikhet på 1/2, deklarerade som "öppna" eller "stängda", och den önskade sannolikheten är sannolikheten att ha en väg från båge till båge som bara går längs öppna hörn. $\delta>0$ $\Pi _{{\delta ))$ $[a^{\delta },b^{\delta }]$ $[c^{\delta },d^{\delta }]$

Slutligen definieras den önskade nedbrytningssannolikheten som gränsen för "diskretiserade" sannolikheter som , som tenderar till noll: $\Pi _{{\delta ))$ $\delta$

\Pi (\Omega ,[a,b],[c,d]):=\lim _({\delta \to 0}}\Pi _{{\delta }}.

Cardis svar

Cardis föreslagna (med hjälp av konform fältteori ) svar för nedbrytningssannolikheten var:

Sannolikheten för sammanbrott är konformt invariant, det vill säga om mellan regionerna och det finns en konform mappning som omvandlar punkter på gränsen till punkter på gränsen , då $\Omega$ $\Omega '$ $\varphi$ $a,b,c,d$ $\Omega$ $a',b',c',d'$ $\Omega '$

\Pi (\Omega ;[a,b],[c,d])=\Pi (\Omega ';[a',b'],[c',d']).

Sålunda räcker det att ställa in nedbrytningssannolikheten för endast en enkelt ansluten region, och tre av de fyra punkterna kan fixeras. $a,b,c,d$

I det övre halvplanet för punkter uttrycks nedbrytningssannolikheten i termer av den hypergeometriska funktionen som [2] ${\displaystyle \mathbb {C} _{+}=\{Im\,z>0\))$ $0,1-u,1,\infty$ ${}_{2}F_{1}$

\Pi (\mathbb {C} _{+};[1-u,1],[\infty ,0])={\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/ 3)\Gamma (4/3)}}u^{1/3}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3)),{\frac {2}{3 ));{\frac {4}{3}},u\right).

Denna representation kan skrivas om som en integral

\Pi (\mathbb {C} _{+};[1-u,1],[\infty ,0])={\frac {1}{\int _{0}^{1}( v(1-v))^{-2/3}dv}}\int _{0}^{u}(v(1-v))^{-2/3}dv.

Carlesons omformulering

Kort efter uppkomsten av Cardi-formeln märkte Lennart Carleson [4] att integralen på höger sida av integralrepresentationen definierar (som en funktion på det övre halvplanet) en konform avbildning av det övre halvplanet på ett regelbundet triangel. Därför kan Cardis formel förenklas genom att betrakta som arean en regelbunden triangel, där tre av de fyra markerade punkterna är vid hörnen. I det här fallet visar sig nedbrytningssannolikheten helt enkelt vara förhållandet mellan segmenten , som inte är en sida av triangeln, till sidan av triangeln. $[a,b],[c,d]$

Bevis för fallet med ett triangulärt gitter

Cardi-formeln för fallet med ett triangulärt gitter bevisades av Smirnov med hjälp av tekniken för diskret komplex analys. Ett av stegen i hans bevis var utvidgningen av nedbrytningssannolikheten till en funktion på det inre av regionen. För ett diskretiserat område med tre markerade punkter på gränsen betraktar vi nämligen en funktion på detta område som specificerar sannolikheten för att ha en öppen väg från bågen till gränsbågen som skiljer punkten från bågen . Sannolikheten för sammanbrott ges av värdet av denna funktion vid gränspunkten . $\Omega _{{\delta }}$ $A_{{\delta }},B_{{\delta }},C_{{\delta }}$ $h_{{C,\delta }}(z)$ $A_{{\delta }}C_{{\delta }}$ $B_{{\delta }}C_{{\delta }}$ $A_{{\delta }}B_{{\delta }}$ $z$ $\Pi _{{\delta }}(\Omega _{{\delta }});[A_{{\delta }}B_{{\delta }}],[C_({\delta }}D_{{\ delta }}])$ $D_{{\delta }}$

Det visar sig att, när det gäller summan av tre sådana funktioner,

h_{{\delta }}=h_{{A,\delta }}(z)+h_{{B,\delta }}(z)+h_{{C,\delta}}(z),

och för deras linjära kombination

s_{{\delta }}=h_{{A,\delta }}(z)+\tau h_{{B,\delta }}(z)+\tau h_{{C,\delta }}(z) ,\quad \tau =e^{{2\pi i/3}},

den diskreta antiholomorfa differentialen visar sig vara liten (och tenderar till noll när steget minskar ). Detta innebär att gränsen fungerar och är holomorf . Slutligen är funktionen holomorf och tar endast verkliga värden; sålunda visar det sig vara konstant och, på grund av gränsvärdena, identiskt lika med enhet. ${\bar {\partial ))$ $\delta$ $h=\lim _{{\delta \to 0}}h_{{\delta }}$ $s=\lim _{{\delta \to 0}}s_{{\delta }}$ $h$

En analys av funktionen s visar att den konformt kartlägger området till en vanlig triangel genom att översätta punkterna A, B och C till punkter ; Cardi-formeln återställs sedan baserat på studiet av beteendet hos funktioner på gränsen. $\Omega$ $0,1,e^{{\pi i/3}}$

Anteckningar

↑ 12 Cardy , 1992 .
↑ 1 2 3 4 Smirnov, 2006 .
↑ Sheffield, S. och Wilson, D.B. Schramms bevis på Watts formel . Hämtad 11 september 2011. Arkiverad från originalet 25 augusti 2012.
↑ 1 2 3 Smirnov S. K. Tal vid den allryska kongressen för lärare i matematik vid Moscow State University . Hämtad 19 augusti 2011. Arkiverad från originalet 25 augusti 2012. (obestämd)
↑ 1 2 Smirnov, 2001 , sid. 241.
↑ Beffara V. Cardys formel på det triangulära gittret, det enkla sättet (länk ej tillgänglig) . Hämtad 17 augusti 2011. Arkiverad från originalet 31 augusti 2012. (obestämd)
↑ Wood DV , Philbrick PH Lösningar på problem: 5 // American Mathematical Monthly . - 1894. - V. 1 , nr 6 . - S. 211-212 .
↑ Broadbent SR, Hammersley JH Percolation processer, I. Kristaller och labyrinter // Proc . Camb. Phil. Soc.. - 1957. - Vol. 53. - P. 629-641.
↑ Efros, 1982 , sid. 1-2.
↑ Langlands RP, Pichet C., Pouliot Ph., Saint-Aubin Y. Om universaliteten av korsningssannolikheter i tvådimensionell perkolation // Journal of Statistical Physics. — Vol. 67. - P. 553-574. - doi : 10.1007/BF01049720 .
↑ Langlands RP, Pichet C., Pouliot Ph., Saint-Aubin Y. On the Universality of Crossing Probabilities in Two-Dimensional Percolation // Preprint CRM-1785. – oktober 1991.
↑ Langlands R., Pouliot Ph., Saint-Aubin Y. Conformal invariance in two-dimensional percolation // Bull. amer. Matematik. soc. (NS). — Vol. 30.—S. 1–61.
↑ Smirnov, 2001 , sid. 239.

Länkar

Austin D. Percolation: Slipping through the cracks . American Mathematical Society Feature Column. Hämtad 8 september 2011. Arkiverad från originalet 15 maj 2012.

Litteratur

Efros A.L. Störningens fysik och geometri . - Bibliotek "Quantum" . - Moskva: Nauka , 1982. - 265 s.
Cardy J. Kritisk perkolation i finita geometrier // J. Phys. A. - 1992. - T. 25 . - C. L201-L206 .
Smirnov S. Kritisk perkolation i planet. I. Konform invarians och Cardys formel. II. Kontinuerlig skalningsgräns. . (obestämd)
Smirnov S. Kritisk perkolation i planet: konform invarians, Cardys formel, skalningsgränser // CR Acad. sci. Paris, Ser. I. - 2001. - Vol. 333. - S. 239-244.
Smirnov S. Critical percolation and conformal invariance (engelska) // XIVth International Congress on Mathematical Physics, Lissabon, Portugal, 28 juli - 2 augusti 2003 / Zambrini, Jean-Claude (red.). - Hackensack, NJ: World Scientific Publishing, 2006. - P. 99-112 . — ISBN 978-9812562012 .
Beffara V. Cardys formel på det triangulära gittret, det enkla sättet (ej tillgänglig länk) . Hämtad 17 augusti 2011. Arkiverad från originalet 31 augusti 2012. (obestämd)
Kesten H. Några höjdpunkter om perkolation // Proceedings of the International Congress of Mathematicians: Peking 2002, 20-28 augusti. - T. 1 . - S. 345--362 . - ISBN 978-7040086904 .