Stirling formel

Inom matematik är Stirlingformeln (även Moivre-Stirlingformel ) en formel för ungefärlig beräkning av faktorial- och gammafunktion . Uppkallad efter James Stirling och Abraham de Moivre , den senare anses vara författaren till formeln [1] .

Den mest använda versionen av formeln:

\ln \Gamma (n+1)=\ln n!=n\ln n-n+O(\ln n).

Nästa term i detta är ; alltså en mer exakt uppskattning: $O(\ln n)$ ${\frac {1}{2}}\ln(2\pi n)$

\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^ {n}}}=1,

vilket motsvarar

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.

Stirlingformeln skrivs ofta som

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp {\frac {\theta _{n}}{ 12n}},

var , . En mer exakt uppskattning ges av formeln $0<\theta _{n}<1$ $n>0$

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp {\frac {1}{12n+\theta _{ n}}},

var , . $0<\theta _{n}<1$ $n>0$

I den sista formeln är det maximala värdet faktiskt mindre än 1 och är ungefär lika med 0,7509. $\theta_n$

Stirlings formel är en approximation som erhålls från expansionen av factorial till en Stirling-serie , som har formen $n>0$

{\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \sum _{ k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}}=\\&={\sqrt {2\pi n}}\ vänster({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}- {\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right)=\\&={\sqrt {2\pi n}} \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{ \frac {1}{(2^{3})(6n)^{2}}}-{\frac {139}{(2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^ {3}}}-{}\höger.\\&\qquad \left.{}-{\frac {571}{(2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{ 4}}}+\cdots \right),\end{aligned}}

var är Bernoulli-talen med nummer . $B_j$ $j$

Denna formel använder ekvivalenssymbolen istället för likhet, eftersom serien divergerar för varje fast , men det är en asymptotisk expansion av faktorialen för . $n$ $n\till\infty$

Länkar

↑ Pearson, Karl (1924), Historisk anteckning om ursprunget för den normala felkurvan , Biometrika vol 16: 402–404 [s. 403] , DOI 10.2307/2331714 : “Stirling visade bara att den aritmetiska konstanten i De Moivres formel är . Jag tror att detta inte gör honom till satsens författare.” ${\sqrt {2\pi ))$

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Stor ryss Britannica (online)