Franska järnvägsmetriska

Den franska järnvägsmetriken är ett ovanligt exempel på en metrik .

Namnet på detta mått kom från Frankrikes mycket centralt lagda (särskilt tidigare) järnvägsnätverk , där nästan alla spår sammanföll i Paris .

Konsekvenserna av detta var sådana att man till exempel för att ta sig med tåg från Strasbourg till Lyon måste göra en omväg på 400 km genom Paris - man fick stå ut med att det inte finns någon direkt förbindelse.

Detta fick en okänd matematiker att definiera följande måttenhet: om det finns någon uppsättning punkter i planet (städer i Frankrike med en järnvägsförbindelse genom Paris) och - en fast punkt vald (Paris), så kan man definiera måtten enligt följande : $X$ $sid$ $X$ $\rho \colon X\ gånger X\ till {\mathbb {R}}$

\rho (x,y)=\left.{\begin{cases}\|xy\|,&x-p=\lambda (yp)\\\|xp\|+\|yp\|,&x -p\neq \lambda (yp)\end{cases}}\right.,\quad x,y\in X,\lambda \in \mathbb {R} .

Här ska det förstås som avståndet längs järnvägen från stad till stad . $\rho (x,y)$ $x$ $y$

Denna konstruktion medger en elementär generalisering till vilket normerat utrymme som helst .

Egenskaper

I det icke-degenererade fallet, det vill säga när det finns icke-kollinjära vektorer, är den franska järnvägsmetriken det enklaste exemplet på ett mått som inte genereras av en norm.

Sannerligen, anta motsatsen. Låt en sådan regel existera. Låt oss ta två icke-kollinjära vektorer och , för vilka . Sedan är vektorerna och också icke-kollinjära, och $a$ $b$ $\left|a\right|\leqslant \left|b\right|$ $a+b$ $b$

\rho (p+a,\,p)\leqslant \rho (p,\,p+b)<\rho (p+a+b,\,p+b)

För det mått som genereras av normen bryts denna ojämlikhet: $d$

d(p+a,p)=|p+ap|=|a|\leq d(p,p+b)=|ppb|=|-b|=|b|<d(p+a +b,p+b)=|p+a+bpb|=|a|.

Därför finns det ingen norm som genererar den franska järnvägsmetriken i den meningen att $|\cdot |$ $\rho (x,\,y)=|xy|.$

Namn vid p = 0

För en norm på den franska tunnelbanan är metriken på , definierad som [1] [2] : $\|\cdot \|$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$

\rho (x,y)=\left.{\begin{cases}\|xy\|,&x=\lambda y\\\|x\|+\|y\|,&x\neq \lambda y\end{cases}}\right.,\quad x,y\in X,\lambda \in \mathbb {R} .

Med andra ord, den franska metrometriken definieras som längden på den kortaste vägen från punkt x till punkt y om x , y och origo är på samma räta linje, och längden på den kortaste vägen från x till y som passerar genom ursprunget, annars.

Det franska tunnelbanemåttet är detsamma som det franska järnvägsmåttet i det speciella fallet där Paris är i ursprunget ( p = 0).

För den euklidiska normen kallas metriken för den franska tunnelbanan också den parisiska metriken , igelkottsmetriken , den radiella metriken eller den förstärkta SNCF- metriken [1] [2] [3] . $\|\cdot \|_{2}$

Brittisk järnvägsmetrik

För normen på (generellt på ) är den brittiska järnvägsmetriken måtten på (på ), definierad som $\|\cdot \|$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$

\|x\|+\|y\|

om , och som 0 annars. Det kallas också Post Office metrisk, Caterpillar metrisk och Shuttle metrisk [1] [2] . $x\ney$

Med andra ord, enligt den brittiska järnvägsmetriken måste du alltid göra en omväg genom utgångspunkten, såvida inte utgångspunkten är densamma som destinationen.

I Storbritannien kallas ibland metriken för den brittiska järnvägen (British Rail metric ) för den franska tunnelbanan [4] .

Exempel

sid	x	y	FZhDM [5]	MFM [6]	IBJD [7]
$(0;0)$	$(0;3)$	$(6;5)$	$3+{\sqrt {61}}$	$3+{\sqrt {61}}$	$3+{\sqrt {61}}$
$(0;0)$	$(0;3)$	$(0;6)$	$3$	$3$	${\sqrt {45}}$
$(-3;2)$	$(0;3)$	$(0;6)$	${\sqrt {10}}+5$	$3$	${\sqrt {45}}$
	$(0;3)$	$(6;5)$	${\sqrt {40}}$	$3+{\sqrt {61}}$	$3+{\sqrt {61}}$
	$(5;12)$	$(12;5)$	${\sqrt {164}}+{\sqrt {234}}$	$26$	$26$
	$(5;12)$	$(5;12)$	$0$	$0$	$0$

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 3 Elena Deza, Michelle Marie Deza. Encyclopedic Dictionary of Distances = Dictionary of Distances. - M . : Nauka, 2008. - S. 278 . — ISBN 978-5-02-036043-3 .
↑ 1 2 3 Elena Deza, Michel Marie Deza. Encyclopedia of Distances . - Springer, 2009. - S. 325 -326. - ISBN 978-3-642-00233-5 .
↑ Weisstein, Eric W. French Metro Metric på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Math 125A: Verklig analys, höst 2012. Kapitel 7. Metriska utrymmen . Hämtad 24 juli 2013. Arkiverad från originalet 6 december 2013. (obestämd)
↑ Fransk järnvägsmetrik
↑ Fransk metrometrisk
↑ Brittisk järnvägsmetrik (inte enligt definitionen som används i Storbritannien)