Hankel funktioner

Hankel (Hankel) -funktioner (Bessel-funktioner av det tredje slaget) är linjära kombinationer av Bessel-funktioner av det första och andra slaget, och därför lösningar av Bessel-ekvationen . Uppkallad efter den tyske matematikern Hermann Hankel .

H_{{\nu }}^{{(1)}}(z)=J_{{\nu }}(z)+iN_{{\nu }}(z)

är Hankel-funktionen av det första slaget;

H_{{\nu }}^{{(2)}}(z)=J_{{\nu }}(z)-iN_{{\nu }}(z)

är Hankel-funktionen av det andra slaget.

Hankelfunktioner med index 0 är grundläggande lösningar på Helmholtz-ekvationen .

Egenskaper

$H_{{\nu }}^{{(1)}}(z)={\frac {J_{{-\nu }}(z)-e^{{-\nu \pi i}}J_{{ \nu }}(z)}{i\sin(\nu \pi )}}$

$H_{{\nu }}^{{(2)}}(z)={\frac {J_{{-\nu }}(z)-e^{{\nu \pi i}}J_{{\ nu }}(z)}{-i\sin(\nu\pi )}}$

$W\left[H_{{\nu }}^{{(1)}}(z),H_{{\nu }}^{{(2)))(z)\right]=-{\frac { 4i}{\pi z}}$

$H_{{-\nu }}^{{(1)}}(z)=e^{{\nu \pi i}}H_{{\nu }}^{{(1)}}(z)$

$H_{{-\nu }}^{{(2)}}(z)=e^{{-\nu \pi i}}H_{{\nu }}^{{(2)))(z)$

$H_{{-\nu }}^{{(1)}}(z)\sim {\sqrt ({\frac {2}{\pi z}}}}e^{{{\frac {i}{ 4}}(4z-2\pi \nu -\pi )}}$ , om ; $|z|\till \infty ,-\pi <\arg z<2\pi$

$H_{{-\nu }}^{{(2)}}(z)\sim {\sqrt ({\frac {2}{\pi z}}}}e^{{-{\frac {i} {4}}(4z-2\pi \nu -\pi )}}$ om . $|z|\till \infty ,-2\pi <\arg z<\pi$

Watson G. Theory of Bessel funktioner. I 2 band - M .: IL , 1949.
Bateman G. , Erdeyi A. Högre transcendentala funktioner. Besselfunktioner, paraboliska cylinderfunktioner, ortogonala polynom. — M.: Fizmatgiz , 1966. — 296 sid. — (Referens matematiskt bibliotek).

Abramowitz och Stegun, sid. 358, 9.1.3, 9.1.4 .
Olver F. Gl. 9. Bessel-funktioner i heltalsordning // Handbok för specialfunktioner med formler, grafer och tabeller, Ed. M. Abramowitz och I. Steegan; per. från engelska. ed. V.A. Ditkin och L.N. Karamzina. - M . : Nauka, 1979. - S. 177-255. — 832 sid. — 50 000 exemplar.