Cauchy funktionell ekvation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 januari 2014; kontroller kräver 20 redigeringar .

Den funktionella Cauchy-ekvationen för en funktion har formen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

f(x+y)=f(x)+f(y)

En funktion som uppfyller denna ekvation kallas additiv . Denna term gäller godtyckliga funktioner, inte bara verkliga.

Cauchy-ekvationen är en av de äldsta och enklaste funktionella ekvationerna , men dess lösning i reella tal är ganska komplicerad. I rationella tal kan det bevisas med hjälp av elementär matematik att det finns en unik familj av lösningar av formen , där c är en godtycklig konstant. Denna familj av lösningar är också en av lösningarna på uppsättningen av reella tal. Ytterligare restriktioner som åläggs , kan utesluta möjligheten att det finns andra lösningar. Till exempel är linjära funktioner de enda möjliga lösningarna om: $f(x)=cx$ $f$ $f(x)=cx$

$f$ är kontinuerlig (bevisad av Cauchy 1821 ) . Detta tillstånd mildrades 1875 av Darboux , som visade att kontinuiteten i en funktion endast är nödvändig vid ett tillfälle.
$f$ är monoton på något intervall.
$f$ avgränsad uppifrån eller under på något intervall (speciellt fall: behåller tecken på något intervall). $f$
för vissa intervall av argumentvärden finns det ett intervall av värden som inte är noll som funktionen inte tar på detta intervall (en mer allmän version av föregående fall). $f$
$f$ integrerbar (i synnerhet enligt Lebesgue ) på något intervall.
$f$ mätbar över ett visst intervall.

Å andra sidan, om det inte finns några ytterligare begränsningar på , så finns det oändligt många andra funktioner som uppfyller ekvationen (se artikeln " Hamels grund "). Detta bevisades 1905 av Georg Hamel med hjälp av Hamelbasen , och därav valets axiom . En generalisering av Hilberts tredje problem till fallet med flerdimensionella utrymmen använder denna ekvation. $f$

Andra former av den funktionella Cauchy-ekvationen

Följande funktionella ekvationer är ekvivalenta med den additiva Cauchy-ekvationen : $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$

logaritmisk Cauchy-ekvation (en av lösningsfamiljerna har formen ). $f\left(xy\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$ $f\left(x\right)=c\ln \left|x\right|=\log _{a}\left|x\right|$
makt Cauchy ekvation (en av familjerna av lösningar har formen ). $f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$ ${\displaystyle f\left(x\right)=\left|x\right|^{a))$
exponentiell Cauchy-ekvation (en av lösningsfamiljerna har formen ). $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$ ${\displaystyle f\left(x\right)=\exp \left(cx\right)=a^{x))$

Den degenererade lösningen av dessa ekvationer är funktionen . $f\left(x\right)=0$

Lösning i rationella tal

Låt oss bevisa att rationella tal kan tas ut ur funktionstecknet. Låt oss ta : $n\in \mathbb {N}$

f(nx)=f(x+x+\cdots +x)=f(x)+f(x)+\cdots +f(x)=nf(x)

f\left({\frac {x}{n}}\right)={\frac {nf(x/n)}{n}}={\frac {f(x)}{n}}

Låt oss nu sätta och : $x=y=0$ $y=-x$

f(0)=f(0)+f(0)\Högerpil f(0)=0

f(0)=f(x)+f(-x)\Högerpil f(-x)=-f(x)

Lägger vi ihop allt får vi:

\forall a\in \mathbb {Q} ,x\in \mathbb {R} :f(ax)=af(x)

Inställning och beteckning har vi en unik familj av lösningar över . $x=1$ $c=f\left(1\right)$ $f(x)=cx$ $\mathbb {Q}$

Förekomsten av icke-linjära lösningar

Beviset för existensen av icke-linjära lösningar är icke- konstruktivt och bygger på valets axiom . Med dess hjälp bevisas existensen av Hamel-basen i alla vektorrum , inklusive oändliga dimensioner.

Betrakta som ett vektorrum över fältet : det har en Hamel-bas. Låt oss ta koefficienten framför någon basvektor i expansionen av talet enligt basen - detta kommer att vara värdet . Den resulterande funktionen tar rationella värden (som en koefficient i expansionen över ) och är inte identiskt lika med noll ( ), och kan därför inte vara linjär. Det är lätt att förstå att det är additivt, det vill säga det uppfyller Cauchy-ekvationen. $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\alfa$ $x$ $f(x)$ $\mathbb {Q}$ $f(\alpha )=1$

I det allmänna fallet, låt vara Hamel-basen för uppsättningen av reella tal över fältet av rationella tal . Sedan för varje real finns det en expansion i Hamel-basen (där ), och en sådan expansion är unik upp till ordningen av expansionsvillkor och termer med nollfaktorer. För en additiv funktion måste villkoret vara uppfyllt , där är fasta reella tal (rationella faktorer kan tas ur den additiva funktionens tecken, se föregående avsnitt). Det är uppenbart att funktionen som ges av denna relation uppfyller den additiva Cauchy-ekvationen för alla val av hjälpnummer . Men först när , där är ett godtyckligt reellt tal, visar sig funktionen i fråga vara en linjär funktion av . $\{r_{\alpha }\}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $x$ $x=k_{{\alpha _{1}}}r_{{\alpha _{1}}}+\cdots +k_{{\alpha _{n}}}r_{{\alpha _{n}}}$ $k_{i}\in {\mathbb {Q}}$ $f(x)$ $f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}$ $f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})$ $f(x)$ $f_{\alpha _{n))$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $f_{\alpha _{n}}\equiv c\cdot r_{\alpha _{n}}$ $c$

Egenskaper för icke-linjära lösningar

Nu ska vi bevisa att alla icke-linjära lösningar måste vara en ganska ovanlig funktion - dess graf måste vara överallt tät i . Detta betyder att varje godtyckligt liten cirkel på planet innehåller minst en punkt i denna graf. Andra egenskaper kan lätt härledas från detta, såsom diskontinuitet vid vilken punkt som helst, icke-monotonicitet och obegränsadhet vid vilket intervall som helst. $y = f(x)$ $\mathbb {R} ^{2}$

Vi kan, genom att dividera funktionen med , anta att . (Om , då , och resonemanget nedan förblir giltiga med minimala ändringar, förutsatt att det finns en punkt för vilken .) Om funktionen inte är linjär, så för vissa : vi sätter . Låt oss nu visa hur man hittar en grafpunkt i en godtycklig cirkel centrerad vid en punkt med radie , där . Det är tydligt att detta är tillräckligt för grafens densitet överallt i . $c=f(1)$ $\forall a\in \mathbb {Q} :f(a)=a$ $f(1)=0$ $\forall a\in \mathbb {Q} :f(a)=0$ $\alpha \in \mathbb {R}$ $f(\alpha )\neq 0$ $f(x)$ $f(\alpha )\neq \alpha$ $\alpha \in \mathbb {R}$ $f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0$ $(x,y)$ $r$ $x,y,r\in \mathbb {Q} ,r>0,x\neq y$ $y = f(x)$ $\mathbb {R} ^{2}$

Låt oss ställa in och välja ett rationellt tal nära , så att: $\beta ={\frac {yx}{\delta ))$ $b\neq 0$ $\beta$

\left|\beta -b\right|<{\frac {r}{3\left|\delta \right|}}

Välj sedan ett rationellt tal nära , så att: $a$ $\alfa$

\left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{3\left|b\right|}}

Låt oss nu ta och, med hjälp av den funktionella ekvationen, får vi: $X=x+b(\alpha -a)$

Y=f(X)=f(x+b(\alpha -a))

=x+bf(\alpha )-bf(a)

=y-\delta \beta +bf(\alpha )-bf(a)

=y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ba

=y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)

Men då , det vill säga, punkten var inuti cirkeln. $(Yy)^{2}+(Xx)^{2}=(b(\alpha -a)-\delta (\beta -b))^{2}+(b(\alpha -a) )^{2}\leqslant \left({\frac {r}{3}}+{\frac {r}{3}}\right)^{2}+\left({\frac {r}{3 }}\right)^{2}<r^{2}$ $(X,Y)$

Det kan också visas [1] att när en additiv funktion inte är linjär, kommer den att vara diskontinuerlig vid vilken punkt som helst på den reella axeln, och inte heller bevara tecken, är inte avgränsad ovanför eller under, är inte monoton , är inte integrerbar , och är inte mätbar på något godtyckligt litet intervall, fyller, i enlighet med påståendet om grafens densitet som visats ovan, överallt på planet , på vilket godtyckligt litet intervall som helst, fyller hela den verkliga axeln med dess värden tätt . $f(x)$ $y = f(x)$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\left(-\infty ,+\infty \right)$

Anteckningar

↑ Rutgers universitetar . Hämtad 3 november 2019. Arkiverad från originalet 3 november 2019. (obestämd)

Litteratur

N.K. Vereshchagin, A. Shen. Början av mängdlära . — S. 82. — (Föreläsningar om matematisk logik och teori om algoritmer).
Lösa Cauchy funktionella ekvation - Rutgers University