Weber funktion

Weber-funktionen är en icke- elementär funktion , som är en speciell lösning av den inhomogena Bessel-ekvationen :

z^{2}{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+z{\frac {df}{dz}}+(z^{2}-\nu ^ {2})f=-{\frac {(z+\nu )+(z-\nu )\cos(\pi z)}{\pi }}

Integralt uttryck för Weber-funktionen:

{\mathsf {E}}_{\nu}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(\nu \theta -z \cdot \sin \theta )d\theta

{\mathsf {E}}_{\nu}(z)\cdot \sin(\pi \nu)={\mathsf {J}}_{-\nu}(z)-{\mathsf { J}}_{\nu }(z)\cdot \cos(\pi \nu )

För heltal är Weber-funktionen relaterad till Struve-funktionen genom relationerna: $n\geqslant 0$

{\mathsf {E}}_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n-1} {2}}\right]}{\frac {\Gamma \left(k+{\frac {1}{2}}\right)\cdot (z/2)^{n-2k-1}}{\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}-k\right)}}-{\mathsf {H}}_{-n}(z)

Litteratur