Dawson funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 december 2019; kontroller kräver 3 redigeringar .

I matematik är Dawson-funktionen, eller Dawson-integralen (uppkallad efter Henry Gordon Dawson ) en icke-elementär funktion av en reell variabel:

F(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt.

Egenskaper

Generella egenskaper

udda funktion :. $F(-x)=-F(x)$
Derivat : . ${\frac {d}{dx}}F(x)=1-2xF(x)$
Obestämd integral : där är en generaliserad hypergeometrisk funktion . $\int F(x)\,dx={\frac {1}{2}}x^{2}{}_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2} }},2;-x^{2}\höger)$ ${}_{2}F_{2}\left(a,b;c,d;z\right)$
Är bråkdelsderivatan av den inversa exponenten : . $D^{{-1/2}}e^{{-x}}={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}F({\sqrt {x}})$
Den har ett maximum vid den punkt som är lösningen av ekvationen : . Bråk ges av siffersekvenser, sekvens 133841 i OEIS och sekvens 133842 i OEIS . $1-{\sqrt {\pi }}e^{-x^{2}}x\,\mathrm {erfi} (x)=0$ $F(0,9241388730)=0,541044246$
Har en böjningspunkt : (sekvens 133843 i OEIS ). $F(1,5019752683)=0,4276866160$
Expanderas till fortsatta bråk :

F(z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2z^{2}}{3-{\cfrac {4z^{2}}{5+{\cfrac {6z^{ 2}}{7-{\cfrac {8z^{2}}{9+\cdots }}}}}}}}}}

F(z)={\cfrac {z}{1+2z^{2}-{\cfrac {4z^{2}}{3+2z^{2}-{\cfrac {8z^{2 }}{5+2z^{2}-{\cfrac {12z^{2}}{7+2z^{2}-\cdots }}}}}}}}

Felfunktion

Dawson-funktionen är nära relaterad till felintegralen erf :

F(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{{-x^{2}}}{\mathrm {erfi}}(x)=-{i{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{{-x^{2}}}{\mathrm {erf}}(ix)

där erfi är den imaginära delen av felfunktionen, erfi( x ) = − i erf( ix ).

Asymptotika

För | x |, nära noll, F ( x ) ≈ x , och för | x | stor, F ( x ) ≈ 1/(2 x ). Mer exakt, nära ursprunget finns en expansion till en serie :

F(x)=\summa _{{k=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{k}\,2^{k}}{(2k+1)!! }}\,x^{{2k+1}}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\cdots

F(x)=\summa _{{n=0}}^{{+\infty }}{\frac {(-2)^{{n}}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n +1)}}\,x^{{2n+1}}=x-{\frac 23}x^{3}+{\frac 4{15}}x^{5}-\dots

(denna potensserie konvergerar för alla x ) och nära , det finns en asymptotisk expansion : $+\infty$

F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\dots +{ \frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^{{n+1}}x^{{2n+1}}}}+o(x^{{-2n-2 }})

(som däremot för alla x är en divergerande serie ).

Alternativ definition

F ( x ) uppfyller den ordinarie differentialekvationen

{\frac {dF}{dx}}+2xF=1

med initialvillkoret F (0) = 0.

Generaliseringar

Ibland använder de en annan beteckning för Dawson-funktionen: , då introducerar de den "symmetrisk" i notationen: ; i dessa beteckningar: $D_{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt$ $D_{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt$

D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \över 2}e^{{-x^{2}}}{\mathrm {erfi}}(x)

och

D_{-}(x)={{\sqrt {\pi }} \över 2}e^{{x^{2}}}{\mathrm {erf}}(x)

Se även

Litteratur

Temme, NM (2010), "Felfunktioner, Dawsons och Fresnel-integraler", i Olver, Frank WJ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press , ISBN 978-0521192255

Länkar

Cephes - Bibliotek med matematiska funktioner i C och C++
Weisstein, Eric W. The Dawson Integral på Wolfram MathWorld .
Felfunktion
Implementeringar av Dawson-funktionen