Cyklotronmassa

Cyklotronmassan är den effektiva massan av en elektron eller ett hål som kännetecknar laddningsbärarnas rörelse i ett magnetfält. I det allmänna fallet sammanfaller inte denna massa med bärarnas effektiva massa . I ledare med en anisotrop Fermi-yta beskrivs tröghetsegenskaperna hos bärare med den effektiva masstensorn . Cyklotronmassa mäts genom att studera cyklotronresonans , magnetiska oscillationseffekter ( Shubnikov-de Haas- effekten , de Haas-van Alphen-effekten ) och andra kinetiska effekter och termodynamiska egenskaper [1] . Kunskap om cyklotronmassan gör det möjligt att rekonstruera formen på Fermi-ytan i ett fast ämne.

Teori för kisel [2]

Fermi-ytan av kisel, som är en indirekt -gap- halvledare , består av sex rotationsellipsoider i k-rymden. Betrakta en sektion av Fermi-ytan av XZ-planet så att det kommer att finnas 4 prolatellipser i detta plan med centra placerade på axlarna på ett avstånd av . Låt magnetfältsvektorn ligga i detta plan och bilda en vinkel med Z-axeln Den anisotropa dispersionslagen för elektroner har formen $k_{0}$ $\mathbf {B}$ $\theta$

\varepsilon ={\frac {\hbar ^{2}}{2}}\left({\frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{m_{t ))}+{\frac {(k_{z}-k_{0})^{2}}{m_{l}}}\höger),

där två olika effektiva massor , , introduceras, vilka kallas longitudinella respektive tvärgående effektiva massor. rörelseekvation för en partikel ( Newtons andra lag ) med laddning "-e" i ett magnetfält i frånvaro av dämpning ${\displaystyle m_{t))$ $m_{l}$ $\mathbf {B}$

\hbar {\frac {d\mathbf {k} }{dt))=-e\mathbf {v} \times \mathbf {B} ,

var är vågvektorn , och partikelhastigheten ges av $\mathbf {k}$ $\mathbf{v}$

\mathbf {v} ={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}\varepsilon =\left({\frac {\hbar k_{x}}{m_{t}}} ,\,{\frac {\hbar k_{y}}{m_{t}}},\,{\frac {\hbar (k_{z}-k_{0})}{m_{l}}}\ höger).

Låt oss nu skriva komponent för komponent rörelselagen

\hbar {\frac {dk_{x}}{dt}}=-{\frac {e\hbar Bk_{y}}{m_{t}}}\cos {\theta },

\hbar {\frac {dk_{y}}{dt}}={\frac {e\hbar Bk_{x}}{m_{t}}}\cos {\theta }-{\frac {e \hbar B(k_{z}-k_{0})}{m_{l))}\sin {\theta },

\hbar {\frac {dk_{z}}{dt}}={\frac {e\hbar Bk_{y}}{m_{t}}}\sin {\theta }.

Vi är bara intresserade av lösningar av formen

k_{x}=k_{1}e^{i\omega t},\,k_{y}=k_{2}e^{i\omega t},\,k_{z}=k_{ 0}+k_{3}e^{i\omega t}.

Denna lösning finns vid en viss frekvens som kallas cyklotron , som beror på vinkeln:

\omega _{c}=eB\left({\frac {\sin ^{2}{\theta }}{m_{l}m_{t}}}+{\frac {\cos ^{2 }{\theta }}{m_{t}^{2}}}\right)^{1/2}.

Här kan vi definiera cyklotronmassan som

m_{c}=eB/\omega _{c}.

Det kan ses att om vinkeln är lika med noll, då , och om vinkeln är rätt: . ${\displaystyle m_{c}=m_{t))$ ${\displaystyle m_{c}={\sqrt {m_{l}m_{t))))$

Allmänt fall

I det allmänna fallet [3] för en godtycklig Fermi-yta , till exempel i metaller, kan Fermi-ytan ha en komplex form, du måste använda följande formel för cyklotronfrekvensen [4]

\omega _{c}={\frac {2\pi eB}{\hbar ^{2))}{\frac {1}{(\partial S/\partial \varepsilon _{F})} }

och cyklotronmassa

m_{c}={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}{\frac {\partial S}{\partial \varepsilon )),\qquad (1)

var är sektionsarean av Fermi-ytan vid planet , är projektionen av elektronvågsvektorn på magnetfältets riktning, är elektronenergin. $S(\varepsilon ,k_{H})$ ${k_{H}}=const$ $k_{H}$ $\varepsilon$

Fallet med en parabolisk zon

För den enklaste isotropa paraboliska zonen kan energin och arean representeras som följande funktioner av vågvektorn [4] :

\varepsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}\

{S}\left(\varepsilon _{F},{{k}_{H}}\right)=\pi k_{\bot}^{2}=\pi \left({\frac { 2{{m}^{*}}\varepsilon _{F}}{{\hbar }^{2}}}-k_{H}^{2}\right)\,,

var är storleken på vågvektorkomponenten vinkelrätt mot magnetfältet och är Fermi-energin . I det här fallet kommer areaderivatet av energin att ha den enklaste formen: ${\displaystyle k_{\bot ))$ $\varepsilon _{F}$

{\frac {\partial {S}}{\partial \varepsilon _{F}}}={\frac {2\pi {{m}^{*}}}{{\hbar }^{2 }}}\,.

Genom att ersätta det erhållna värdet för derivatan med formeln för den effektiva massan finner vi:

m_{c}={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}\cdot {\frac {\partial S}{\partial \varepsilon _{F}}}=m^{ *}\,.

Sålunda, i fallet med en enkel isotrop parabolisk zon, finns det en identitet mellan "cyklotronmassan" och den "effektiva massan". Denna omständighet gör det möjligt att i de flesta praktiska fall mäta den effektiva massan av bärare i ett fast ämne.

Cyklotronmassa för grafen [5] [6]

Den tvådimensionella grafenspridningslagen nära Dirac-punkterna ges av ekvationen

\varepsilon =\pm \hbar v_{F}k\,,

där är excitationsenergin, är Fermi-hastigheten och är det absoluta värdet av den tvådimensionella vågvektorn. $\varepsilon$ $v_{F}$ $k$

Betrakta dopad grafen med en densitet av bärare per ytenhet, , vid en temperatur som är tillräckligt låg så att elektronerna bildar en degenererad Fermi-gas . Sedan kan du definiera Fermi-ytan som en 2D-linje - en cirkel . Efter att spinn och daldegenerering har tagits med i beräkningen, är motsvarande Fermi - vågsvektor $n_s$ $\varepsilon =\varepsilon_{F}$ $K F}$

{{k}_{F}}={\sqrt {\pi n_{s}}}\,.

För att bestämma cyklotronmassan i den semiklassiska approximationen använder vi ekvation (1), i vilken vi ska ersätta, , arean i k-rymden som begränsas av en bana med energi $S(\varepsilon )$ $\varepsilon$

S\left(\varepsilon \right)=\pi {{k}^{2}}\left(\varepsilon \right)={\frac {\pi ({\varepsilon }^{2}}} {{{\hbar }^{2}}v_{F}^{2}}}\,,

där vi hittar cyklotronmassan:

m_{c}={\frac {\hbar {{k}_{F}}}{{v}_{F}}}={\frac {\hbar }{v_{F}}}{ \sqrt {\pi n_{s))}\,.

Se även

Anteckningar

↑ Lifshits I. M., Azbel M. Ya., Kaganov M. I. Elektronisk teori om metaller. M.: Nauka, 1971. - 416 sid.
↑ Hook JR s. 158-159.
↑ Hook JR sid. 375.
↑ 1 2 A.A. Abrikosov. Grunderna i teorin om metaller. - Moskva: FIZMATLIT, 2010. - P. 87. - ISBN 978-5-9221-1097-6 .
↑ Eva Y Andrei, Guohong Li och Xu Du, Elektroniska egenskaper hos grafen: ett perspektiv från scanning tunnelmikroskopi och magnetotransport. Rep. Prog. Phys. 75 (2012) 056501 (47pp) arXiv:1204.4532 [cond-mat.mes-hall]
↑ S. Das Sarma, Shaffique Adam, EH Hwang och Enrico Rossi. Elektronisk transport i tvådimensionell grafen // Recensioner av modern fysik. - 2011. - 16 maj ( vol. 83 ). - S. 407 . - doi : 10.1103/RevModPhys.83.407 . - arXiv : https://arxiv.org/pdf/1003.4731 .

Litteratur

Hook JR, Hall HE Fasta tillståndets fysik. - 2nd ed .. - Chichester: John Wiley & Sons, 1997. - P. 158-159. — 474 sid. - ISBN 0-471-92805-4 .
Ridley B. Kvantprocesser i halvledare. - Moskva: Mir, 1986. - S. 63-64. — 304 sid. — ISBN UDC 537.33+535.2.

Länkar

Physical Encyclopedia, v.5 - M.: Great Russian Encyclopedia s.429