Leonardo siffror

Leonardo-tal är en sekvens av tal som ges av ett beroende:

L(n):={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0;\\1&{\text{if }}n=1;\\L(n-1)+L(n -2)+1&{\text{if }}n>1.\\\end{case}}

Edsger Dijkstra [1] använde dem som en del av sin smidiga sorteringsalgoritm och studerade några av deras egenskaper. [2]

Förhållande med Fibonacci-nummer

Leonardo-tal är relaterade till Fibonacci-tal genom en formel . $L(n)=2F(n+1)-1,n\geqslant 0$

Denna formel innebär direkt ett uttryck för Leonardo-tal, liknande Binets formel för Fibonacci-tal:

L(n)=2{\frac {\varphi ^{n+1}-(1-\varphi )^{n+1}}{\varphi -(1-\varphi )))-1= {\frac {2}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{n+1}-(1-\varphi )^{n+1}\right)-1

där är det gyllene snittet , och dessutom och är rötterna till andragradsekvationen $\varphi =(1+{\sqrt 5})/2$ $\varphi$ $1-\varphi =(1-{\sqrt 5})/2$ $x^{2}-x-1=0.$

De första tjugo termerna i Leonardos talsekvens är:

1, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 41, 67, 109, 177, 287, 465, 753, 1219, 1973, 3193, 5167, 8361, 13529 — sekvens A001595 i OEIS

förhållandet mellan närliggande Leonardo-tal, såväl som närliggande fibonacci-tal, tenderar till det gyllene snittet

Anteckningar

↑ EWD797
↑ EWD796a