Lefschetz nummer

Lefschetz nummer
Döpt efter	Solomon Lefschetz
Vem bevisade	Solomon Lefschetz

Lefschetz-talet är ett visst heltal som kännetecknar kartläggningen av ett topologiskt utrymme i sig själv.

Definition

Låt vara ett topologiskt utrymme, vara en kontinuerlig karta och vara homologigrupper med koefficienter i fältet . Låt vara spåret av en linjär transformation $X$ $f:X\till X$ $H_{*}(X,k)$ $X$ $k$ $t_{n}$

f_{*}:H_{n}(X,k)\till H_{n}(X,k)

Per definition är Lefschetz-numret för en mappning $f$

{\displaystyle \Lambda (f,X)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}t_{n))

Egenskaper

Lefschetz-talet definieras om den totala rangordningen för grupperna är ändlig och i detta fall inte beror på valet av . $H_{*}(X,k)$ $k$

Lefschetz-numret för identitetskartläggningen är lika med Euler-karakteristiken . $X$

Lefschetz formel

Låt vara en ansluten orienterbar -dimensionell kompakt topologisk grenrör eller - dimensionell ändlig cell komplex , vara en kontinuerlig kartläggning. $X$ $n$ $n$ $f:X\till X$

Antag att alla fasta punkter på kartan är isolerade. $f:X\till X$

För varje fast punkt betecknar vi med dess Kronecker-index (den lokala graden av kartläggningen i närheten av punkten ). Sedan har Lefschetz formel för och formen $x\i X$ $i(x)$ $f$ $x$ $X$ $f$

\summa _{{\{x|f(x)=x\}}}i(x)=\Lambda (f,X).

I synnerhet, om en mappning av ett finit cellkomplex inte har några fixpunkter, är dess Lefschetz-tal lika med noll.

Historik

Denna formel fastställdes först av Lefschetz för ändliga dimensionella orienterbara topologiska grenrör och senare för ändliga cellkomplex. Dessa papper av Lefschetz föregicks av Brouwers papper från 1911 om den fasta punkten för en kontinuerlig kartläggning av en dimensionell sfär i sig själv. $n$

Anteckningar

I bibliografiska kataloger	GND : 4501113-8