Entropi av ett dynamiskt system

Entropin för ett dynamiskt system är ett tal som uttrycker graden av slumpmässighet hos ett dynamiskt systems banor . Det finns metrisk entropi , som beskriver dynamikens slumpmässighet i ett system med ett invariant mått för ett slumpmässigt val av initialvillkoret för detta mått, och topologisk entropi , som beskriver dynamikens slumpmässighet utan att anta lagen att välja den första punkten.

Variationsprincipen för teorin om dynamiska system säger att för ett kontinuerligt dynamiskt system på en kompakt mängd är den topologiska entropin lika med den minsta övre gränsen av de metriska, övertagen alla möjliga val av systemets invarianta mått.

Topologisk entropi

Låt en kontinuerlig mappning av en metrisk kompakt uppsättning i sig själv ges. Sedan definieras måtten på som $T$ $(X,d)$ $d_{n}$ $X$

d_{n}(x,y)=\max _{0\leq j\leq n}d(T^{j}(x),T^{j}(y)),

med andra ord, detta är det maximala avståndet som banorna går och divergerar i iterationer. Vidare, för en given , säger vi att en uppsättning är -separerad om de parvisa -avstånden mellan dess punkter inte är mindre än , och kardinaliteten för den största sådan uppsättningen betecknas med . Då är den topologiska entropin för kartläggningen den dubbla gränsen $x$ $y$ $n$ $\varepsilon >0,$ $(n,\varepsilon )$ $d_{n}$ $\varepsilon$ $N(n,\varepsilon )$ $T$

h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n))\log N(n,\varepsilon ).

Samma värde kan definieras på olika sätt: om vi betecknar med styrkan av det minsta -nätverket, då $M(n,\varepsilon )$ $\varepsilon$

h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n))\log M(n,\varepsilon ).

Motsvarigheten av dessa definitioner är lätt att härleda från ojämlikheterna.Det är värt att notera att båda definitionerna formaliserar följande icke-strikta begrepp: för en okänd utgångspunkt, hur mycket information som behöver erhållas per iteration för att förutsäga ett stort antal iterationer med ett litet fixerat fel. $N(n,\varepsilon )\leq M(n,\varepsilon )\leq N(n,\varepsilon /2).$

Metrisk entropi

Låt vara ett måttbevarande mätbart dynamiskt system. Per definition är entropin för en partition talet $(X,T,\mu )$ ${\displaystyle X=\bigcup _{j=1}^{n}\xi _{j))$

H(\xi ):=\summa _{j=1}^{n}-\mu (\xi _{j})\log \mu (\xi _{j}),

som bestämmer informationsentropin för definitionen av ett partitionselement som innehåller en -slumpmässig punkt. $\mu$

Iterativ förfining av partitionen , $\xi$

\xi ^{(k)}=\left\{\xi _{i_{1}}\cap T^{-1}(\xi _{i_{2}})\cap \dots \cap T^{-k+1}(\xi _{i_{k}})\mid 1\leq i_{1},\dots ,i_{k}\leq n\right\}

bestämma i vilka element punkten visas under iterationer, och följaktligen värdet $\xi$ $k$

h_{\mu }(T,\xi )=\lim {\frac {1}{k}}H(\xi ^{(k)})

uttrycker informationsentropin för en sådan process. Slutligen definieras den metriska entropin för en mappning i mått som den minsta övre gränsen över alla möjliga partitioner : $T$ $\mu$ $h_{\mu }(\xi )$ $\xi$

h_{\mu }(T):=\sup _{\xi }h_{\mu }(T,\xi ).

Litteratur

Katok A. B. , Hasselblat B. Introduktion till den moderna teorin om dynamiska system / övers. från engelska. A. Kononenko med deltagande av S. Ferleger. - M . : Factorial, 1999. - 768 sid. — ISBN 5-88688-042-9 .