Birkhoff-Khinchins ergodiska sats

Birkhoff-Khinchins ergodiska sats säger att för ett måttbevarande dynamiskt system och en funktion som är integrerad med avseende på detta mått på rymden, för nästan alla initiala punkter konvergerar de tidsmedelvärden som motsvarar dem. Dessutom, om det invarianta måttet är ergodiskt , är gränsen densamma för nästan alla initiala punkter - funktionens integral över det givna måttet. Denna princip är formulerad som "det tidsmässiga medelvärdet för nästan alla initiala punkter är lika med det rumsliga" [1] .

Formulering

Låt vara en måttbevarande mappning och låt funktionen på vara integrerbar med avseende på . Då konvergerar tidsmedelvärdena till någon invariant funktion : $f\kolon X\till X$ $\mu$ $\varphi$ $X$ $\mu$ $\varphi _{n}(x):={\frac {1}{n}}\summa _{{j=0}}^{{n-1}}\varphi (f^{j}(x) )$ ${\bar {\varphi ))$

\varphi _{n}(x):={\frac {1}{n}}\summa _{{j=0}}^{{n-1}}\varphi (f^{j}(x) ){\xrightarrow[ {n\to \infty }]{}}{\bar {\varphi }}(x),

dessutom sker konvergensen både i och nästan överallt i måttet . $L_{1}(X,\;\mu)$ $\mu$

Samband med lagen om stora tal

Den starka lagen om stora tal i Kolmogorov - formen kan erhållas som en konsekvens av Birkhoff-Khinchin-satsen. Eftersom det är tydligt att resultatet inte beror på den specifika implementeringen av slumpvariabler kan vi anta att sannolikhetsutrymmet har formen

\Omega =\mathbb{R} ^{\mathbb{N} }=\{\omega =(\omega _{1},\;\omega _{2},\;\ldots )\}

med måttet , och de slumpmässiga variablerna är ordnade som (måttet ger fördelningen av värdena för någon av ). Då är måttet ergodiskt med avseende på vänsterskiftet, transformationen som bevarar den $P=\mu ^{\mathbb{N} }$ $\xi _{n}(\omega )=\omega _{n}$ $\mu$ $\xi _{n}$ $P$

T\kolon (\omega _{1},\;\omega _{2},\;\ldots )\mapsto (\omega _{2},\;\omega _{3},\;\ldots ).

Å andra sidan är funktionen integrerbar med avseende på , och . Därför kan Cesaro-medelvärdena skrivas som tidsmedelvärden för ett dynamiskt system : $\varphi =\xi _{1}$ $P$ $\xi _{n}=\varphi \circ T^{{n-1}}$ $(\xi _{1}+\ldots +\xi _{n})/n$ $(\Omega ,\;P,\;T)$

{\frac {1}{n}}(\xi _{1}(\omega )+\ldots +\xi _{n}(\omega ))={\frac {1}{n}}\summa _ {{j=0}}^{{n-1}}\varphi \circ T^{j}(\omega ).

Därför, i kraft av Birkhoff-Khinchin-satsen, är det nästan säkert att

{\frac {1}{n}}(\xi _{1}(\omega )+\ldots +\xi _{n}(\omega ))={\frac {1}{n}}\summa _ {{j=0}}^{{n-1}}\varphi \circ T^{j}(\omega ){\xrightarrow[ {n\to \infty }]{}}\int _{\Omega } \varphi \,dP=\int _{\mathbb{R} }x\,d\mu (x)={\mathbb {E}}\xi _{1}.

Detta är slutsatsen av den starka lagen om stora tal.

Anteckningar

↑ Icke-linjär dynamik och kaos, 2011 , sid. 177.

Litteratur

Katok A. B. , Hasselblat B. Introduktion till den moderna teorin om dynamiska system med en genomgång av senaste prestationer / Per. från engelska. ed. A.S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 sid. — ISBN 5-94057-063-1 .
Malinetsky G. G. , Potapov A. B. Icke-linjär dynamik och kaos: grundläggande begrepp. - M. : Librokom, 2011. - 240 sid. - ISBN 978-5-397-01583-7 .