Fejérs kärna

Fejér-kärnan är en funktion som används för Cesàro-summering av Fourier-serier eller Fourier-transformer , givet av formeln:

\Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x)

var är Dirichlet-kärnan . I förkortad form [1] : $D_{k}(x)$

\Phi _{n}(x)={\frac {1}{2(n+1))){\frac {\sin ^{2}{\frac {n+1}{2)) x}{\sin ^{2}{\frac {x}{2))))

Uppkallad efter den ungerske matematikern Lipot Fejer .

Om är en integrerbar på och -periodisk funktion, då: $f(x)$ $[-\pi ,\pi ]$ $2\pi$

\forall x\in \mathbb {R} ~\forall n\in \mathbb {N} \;\;\sigma _{n}(f;x)=\int \limits _{-\pi } ^{\pi }f(xu)\Phi _{n}(u)du=\int \limits _{0}^{\pi }(f(xu)+f(x+u))\Phi _{ n}(u)du

Fejérs teorem : om är en kontinuerlig periodisk funktion, är partialsummorna av Fourierserien av denna funktion, och är det aritmetiska medelvärdet av dessa partiella summor - (även kallad Fejérs ordningssumma ), konvergerar sedan enhetligt till . $f(x)$ $2\pi$ $S_k(x)$ $\sigma _{n}(x)$ ${\displaystyle \sigma _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{k=0}^{n}{S_{k}(x)))$ $n$ $\sigma _{n}(x)$ $f(x)$

Om är en positiv -periodisk jämn funktion , gäller följande påståenden: $\Phi _{n}(x)$ $2\pi$

$\forall n\in \mathbb {N} ~\int \limits _{-\pi }^{\pi }\Phi _{n}(u)du={\pi }$ ;
$\int \limits _{\delta }^{\pi }\Phi _{n}(u)du\rightarrow 0,\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\Phi _ {n}(u)du\rightarrow 0,n\rightarrow \infty$ för någon fast . $\delta>0$

Fejér-kärnan för Fourier-integralen [2] :

F_{n}(x)={\frac {2}{\pi n}}{\frac {\sin ^{2}{\frac {n}{2}}x}{x^{2 }}}

Egenskaper för Fejér-kärnan för Fourier-integralen:

$F_{n}(x)\geqslant 0$ ;
$\int _{-\infty }^{\infty }F_{n}(x)dx=1$ ;
$\int _{|x|\geqslant \delta }F_{n}(x)dx\högerpil 0$ för någon fast vid . $\delta>0$ $n \högerpil \infty$

Anteckningar

↑ Shilov, 1961 , sid. 350.
↑ Shilov, 1961 , sid. 361.

Litteratur

Shilov G.E. Matematisk analys. Specialkurs. — M .: Nauka, 1961. — 436 sid.
Fejérs summeringsmetod - Encyclopedia of Mathematics artikel