Absolut Galois-grupp

Den absoluta Galois-gruppen av fältet är Galois-gruppen över , där är den separerbara stängningen av . Också definierad som gruppen av alla automorfismer av den algebraiska stängningen av ett fält som lämnas orört. Den absoluta Galois-gruppen är unik upp till isomorfism. Det är en proterminal grupp . $G_K$ $K$ $K^{sep}$ $K$ $K^{sep}$ $K$ $K$ $K$

(Om är ett perfekt fält , sammanfaller med den algebraiska stängningen av fältet . Detta gäller till exempel för fält med karakteristiska 0 och ändliga fält .) $K$ $K^{sep}$ $K^{alg}$ $K$

Exempel

Den absoluta Galois-gruppen i ett algebraiskt slutet fält är trivial.
Den absoluta Galois-gruppen av reella tal är en cyklisk grupp som består av två element (komplex konjugation och identitetskartläggning), eftersom är en separerbar stängning och . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $[\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2$
Den absoluta Galois-gruppen i ett ändligt fält är isomorf till gruppen . Här är den projektiva gränsen för . $K$ $\hat{\mathbb{Z}} = \varprojlim \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.$ $\varprojlim$

Frobenius-automorfismen är den kanoniska (topologiska) generatorn ( , där är antalet element i ).

Fr

G_K

Fr(x) = x^q

q

K

Den absoluta Galois-gruppen inom området rationella funktioner med komplexa koefficienter är en fri profinit grupp [1] .
Mer allmänt, låt vara ett algebraiskt slutet fält och vara en variabel. Då är den absoluta Galois-gruppen i ett fält en fri grupp av rang lika med kardinalitet [2] [3] [4] . $C$ $x$ $K = C(x)$ $C$
Låta vara en finit förlängning av p-adiska tal . För dess absoluta Galois-grupp genereras av element och har en explicit beskrivning i termer av generatorer och relationer. $K$ $Q_p$ $p \neq 2$ $[K:Q_p]+3$
Den absoluta Galois-gruppen definieras för det största rent reella underfältet av fältet med algebraiska tal.

Öppna nummer

En explicit beskrivning av den absoluta Galois-gruppen av rationella tal är okänd . I det här fallet följer det av Belyis teorem att den absoluta Galois-gruppen har en effektiv verkan på Grothendiecks dessins d'enfants , vilket gör det möjligt att visualisera Galois-teorin om algebraiska talfält .
Shafarevichs gissning säger att den absoluta Galois-gruppen av en maximal abelian förlängning av rationella tal är en fri profinit grupp.

Anteckningar

↑ Adrien Douady. Determination d'un groupe de Galois (franska) // Comptes Rendues de l'Académie des Sciences de Paris. - 1964. - Vol. 258. - P. 5305-5308. MR : 0162796 _
↑ David Harbater. Grundläggande grupper och inbäddningsproblem i karakteristisk p (engelska) // American Mathematical Society . - 1995. - Vol. 186.—S. 353–369.
↑ Dan Haran, Moshe Jarden. Den absoluta Galois-gruppen av C ( x ) // Pacific Journal of Mathematics: journal. - 2000. - Vol. 196 , nr. 2 . - S. 445-459. doi : 10.2140 / pjm.2000.196.445 .
↑ Florian Pop. Étale Galois omslag av affina släta kurvor. Det geometriska fallet av en gissning av Shafarevich. På Abhyankars gissning (engelska) // Inventiones Mathematicae . - 1995. - Vol. 120, nr. 3 . - s. 555-578. - doi : 10.1007/bf01241142 .