Frobenius endomorfism

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 maj 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Frobenius -endomorfismen är en endomorfism av en kommutativ ring av primära egenskaper , givet av formeln . I vissa fall, såsom fallet med ett ändligt fält , är en Frobenius-endomorfism en automorfism , men i allmänhet är detta inte fallet. $sid$ $x\mapsto x^{p}$

Definition och grundläggande egenskaper

Låta vara en kommutativ ring av prime egenskap (i synnerhet är varje integral ring av icke-noll karakteristik sådan). Frobenius-endomorfismen hos en ring definieras av formeln . Frobenius-endomorfismen är verkligen en ringhomomorfism , eftersom (för att bevisa den sista identiteten räcker det att skriva vänstersidan enligt Newtons binomialformel och notera att alla binomialkoefficienter utom den första och sista är delbara med ). $R$ $sid$ $R$ $F(x)=x^{p}$ $(xy)^{p}=x^{p}y^{p},(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$ $sid$

Om är en godtycklig homomorfism av ringar av prime egenskap , då , det vill säga: . $\varphi :R\to S$ $sid$ ${\displaystyle \varphi (x^{p})=(\varphi (x))^{p))$ $\varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi$

Detta betyder att Frobenius-endomorfismen är en naturlig omvandling av identitetsfunktorn ( på kategorin kommutativa ringar av karakteristik ) till sig själv. $sid$

Om ringen inte innehåller icke-triviala nilpotenter är Frobenius-endomorfismen injektiv (eftersom dess kärna är noll). Det är lätt att bevisa att det omvända också är sant: om en icke-trivial nilpotent försvinner från graden , då . En Frobenius-endomorfism är inte nödvändigtvis surjektiv , även om det är ett fält. Låt till exempel vara fältet för rationella funktioner med koefficienter i , då ligger funktionen inte i bilden av Frobenius-endomorfismen. $R$ $x$ $n$ $(x^{{n-1}})^{p}=0$ $R$ $R={\mathbb F}_{p}(t)$ $\mathbb {F} _{p}$ $t$

Ett fält kallas perfekt om dess egenskap är noll, eller egenskapen är positiv och Frobenius-endomorfismen är surjektiv (det är alltså en automorfism). I synnerhet är alla finita fält perfekta. $K$

Fasta punkter

Betrakta ett ändligt fält . Enligt Fermats lilla teorem uppfyller alla element i detta fält ekvationen . En ekvation av den e graden kan inte ha fler rötter, därför, i någon förlängning av fältet, är de fasta punkterna i Frobenius-endomorfismen exakt fältets element . Ett liknande uttalande gäller för integralringar med karakteristik . $\mathbb {F} _{p}$ $x^{p}=x$ $sid$ $sid$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$ $sid$

Graderna av Frobenius-endomorfism uppfyller också liknande egenskaper. Om är ett ändligt fält, alla dess element uppfyller ekvationen , och i någon förlängning av detta fält, elementen i det ursprungliga fältet är fasta punkter av den e graden av Frobenius endomorphism, det vill säga fasta punkter av . ${\mathbb F}_{{p^{k}}}$ $x^{{p^{k}}}=x$ $k$ $x\mapsto x^{{p^{k}}}$

Genererande element i Galois-gruppen

Galois-gruppen av en finit förlängning av ett finit fält är cyklisk och genereras av graden av Frobenius-endomorfismen. Tänk först på fallet när markfältet är enkelt . Låta vara ett ändligt fält, där . En Frobenius-endomorfism bevarar primära fältelement , så den är en del av förlängningens Galois-grupp . Det visar sig att denna grupp är cyklisk och genereras av . Ordningen för denna grupp är , eftersom endomorfismen verkar identiskt, och mindre makter inte kan agera identiskt. $\mathbb {F} _{q}$ $q=p^{n}$ $F$ $\mathbb {F} _{p}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}\supset \mathbb {F} _{p))$ $F$ $n$ ${\displaystyle x\mapsto x^{q))$ $\mathbb {F} _{q}$

I förlängningen är markfältet fixerat av Frobenius-endomorfismens th grad, Galois-gruppen av förlängningen genereras och har ordning . $\mathbb {F} _{q^{k}}\supset \mathbb {F} _{q}$ $n$ $F^{n}$ $k$

Frobenius endomorfism för scheman

Se även

Primitiv rot till enhet

Litteratur

Lidl R. Niederreiter G. Finita fält. I 2 vol. — M .: Mir, 1998.
Frobenius automorphism - Encyclopedia of Mathematics artikel . L. V. Kuzmin
Frobenius endomorphisms - artikel från Encyclopedia of Mathematics . L. V. Kuzmin