Autoregressiv villkorlig heteroskedasticitet

Autoregressiv villkorlig heteroskedasticitet ( ARCH - AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity) är en modell som används inom ekonometri för analys av tidsserier (främst finansiell), där den villkorliga (genom seriens tidigare värden) variansen för serien beror på tidigare värden av serien, de tidigare värdena för dessa varianser och andra faktorer. Dessa modeller är avsedda att "förklara" klustringen av volatilitet på finansiella marknader, när perioder med hög volatilitet varar under en tid, följt av perioder med låg volatilitet, och den genomsnittliga (långsiktiga, ovillkorliga) volatiliteten kan anses vara relativt stabil.

ARCH-modeller föreslogs först av Robert Engle 1982. Redan 1986 föreslog Bollerslev en generalisering av dessa modeller (GARCH). I framtiden föreslog olika författare andra versioner av modeller av denna typ, med hänsyn till vissa funktioner.

Grundläggande modeller

ARCH

Låt tidsserien vara följande process $u_{t}$

$u_{t}=\varepsilon _{t}{\sqrt {\alpha _{0}+\sum _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}u_{{ti}}^{ 2}}}$

var är vitt brus . $\varepsilon _{t}$

Då kommer både den villkorade och ovillkorliga förväntan av denna process att vara lika med noll. Den villkorliga variansen för denna process kommer att vara lika med

$\sigma _{t}^{2}=V(u_{t}|u_{t-1},...,u_{tq})=\alpha _{0}+\summa _{i =1}^{q}\alpha _{i}u_{ti}^{2}$

En sådan modell för villkorad varians kallas ARCH(q)-modellen. För att undvika negativa variansvärden antas det att alla koefficienter i modellen är icke-negativa, och konstanten är strikt positiv. Om denna process är stationär, så är den ovillkorliga variansen konstant och lika, uppenbarligen,

$\sigma ^{2}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\summa _{i=1}^{q}\alpha _{i}}}$

Ett nödvändigt villkor för stationaritet är att summan av modellkoefficienterna (utan konstant) är strikt mindre än en. Om summan av koefficienterna är lika med en har vi en integrerad ARCH (icke-stationär).

ARCH-processer kännetecknas av positiv kurtos (”fettsvansar”). Till exempel, för en ARCH(1)-process är skiftet från kurtosen av normalfördelningen , om $6\alpha _{1}^{2}/(1-3\alpha _{1}^{2})$ $\alpha _{1}<1/{\sqrt {3}}$

Uppskattning av parametrarna för ARCH(q)-modellen kan göras med den vanliga minsta kvadratmetoden .

GARCH

ARCH-modellen antar att den villkorliga variansen endast beror på kvadraterna av de tidigare värdena i tidsserien. Denna modell kan generaliseras genom att anta att den villkorliga variansen också beror på de tidigare värdena för själva den villkorliga variansen. Detta är den så kallade generaliserade ARCH (Generalized ARCH - GARCH). I det här fallet beskrivs GARCH(p, q) -modellen (där p är ordningen på GARCH-medlemmar och q är ordningen på ARCH-medlemmar ) enligt följande: $\sigma ^{2}$ $u^{2}$

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\summa _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}u_{{ti}}^{2}+\ summa _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{{tj}}^{2}$

Nödvändigt villkor för stationaritet . Den ovillkorliga variansen för en stationär GARCH(p, q)-process kommer att vara konstant och lika med $\sum _{{i=1}}^{p}~\beta _{{i}}+\sum _{{i=1}}^{q}~\alpha _{{i}}<1$

$\sigma ^{2}={\frac {\sigma _{{\varepsilon }}^{2}}{1-\summa _{{i=1}}^{p}~\beta _{{i} }-\summa _{{i=1}}^{q}~\alpha _{{i}}}}$

Om summan av koefficienterna är lika med en, så har vi en integrerad GARCH - IGARCH , vars ovillkorliga varians är oändlig .

GARCH-M

GARCH-in-Mean (GARCH-M) föreslogs av Angle et al. 1987. I det här fallet talar vi inte om en speciell modell för villkorlig varians. Vi talar om användningen av betingad varians som en av faktorerna i regressionsmodellen för riskpremien. Om vi betecknar överavkastning betyder GARCH-M-modellen att [1] $y_{t}$

${\displaystyle y_{t}=a+f(\sigma _{t}^{2})-E[f(\sigma _{t+1}^{2})]+u_{t))$

där modellens slumpmässiga fel är en GARCH-process med villkorlig varians och f är någon funktion. $\sigma _{t}^{2}$

Engle använde funktionen , men alla alternativ är teoretiskt möjliga, i synnerhet helt enkelt eller . Alla tre alternativen (spridning, sco och varianslogaritm) finns i Eviews ekonometriska program (till exempel i version 10). $f(\sigma _{t}^{2})=b{\sqrt {\sigma _{t}^{2))}=b\sigma _{t}$ $f(\sigma _{t}^{2})=b\sigma _{t}^{2}$ $f(\sigma _{t}^{2})=b\ln {\sigma _{t}^{2))$

Asymmetriska GARCH-modeller

Dessa modifieringar av de underliggande modellerna är avsedda att ta hänsyn till den asymmetri som ibland observeras på finansmarknaderna: dåliga nyheter (negativa chocker) har vanligtvis större inverkan på volatiliteten än goda nyheter (positiva chocker), det vill säga volatiliteten är högre vid fallande marknad än på en stigande. Denna effekt kallas ibland för hävstångseffekten (hävstångseffekt), vilket är förknippat med en av förklaringarna till detta fenomen att aktiekurserna sjunker, vilket ökar företagens finansiella hävstångseffekt och därmed risknivån (vilket motsvarar större volatilitet). Inom ramen för klassiska GARCH-modeller kan denna effekt inte förklaras, eftersom den villkorliga variansen beror på kvadraterna av de tidigare värdena i serien och inte beror på tecknen.

EGARCH

EGARCH-modellen föreslogs av Nelson 1991. I denna modell, förutom att ta hänsyn till asymmetri, är problemet med modellens positiva definition också löst, eftersom istället för villkorade varianser är deras logaritmer involverade i modellen:

$\ln \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}g(z_{ti})+\ summa _{j=1}^{p}\beta _{j}\ln \sigma _{tj}^{2}~,~~~g(z_{t})=\delta _{1}z_{ t}+\delta _{2}(|z_{t}|-{\sqrt {2/\pi }})~,~~~z_{t}\sim iid(0,1)$

AGARCH

Den asymmetriska GARCH (AGARCH) modellen föreslogs av Angle 1990.

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\summa _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}(u_{{ti}}-\gamma )^ {2}+\summa _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{{tj}}^{2}$

Den icke-linjära AGARCH(1,1)-modellen (NAGARCH) föreslogs av Engle och Ng 1993.

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}(u_{{t-1}}/\sigma _{{t-1}}-\gamma )^{ 2}+\beta \sigma _{{t-1}}^{2}$

TGARCH och GJR-GARCH

GARCH tröskelmodeller (Threshold GARCH, TGARCH) föreslogs av Zakoyan 1991 och oberoende av Glosten, Jagannathan och Runkle 1993 (den senare modellen hänvisas till med namnen på författarna GJR-GARCH). Den enda skillnaden mellan dessa två modeller är att Zakoyan-modellen använder villkorade standardavvikelser, medan GJR-modellen använder villkorlig varians. Dessa modeller kan representeras enligt följande:

$\sigma _{t}^{{\delta }}=\alpha _{0}+\sum _{{i=1}}^{q}(\alpha _{i}u_{{ti}}^{ {\delta }}+\gamma _{i}I_{{ti}}^{-}u_{{ti}}^({\delta }})+\summa _{{j=1}}^{p }\beta _{j}\sigma _{{tj}}^{{\delta }}~,~~I_{t}^{-}={\begin{cases}1,~u_{t}<0 \\0,~u_{t}\geqslant 0\end{cases}}$

var för Zakoyan-modellen och för GJR-modellen — . Faktum är att modellerna introducerar olika koefficienter för negativa och positiva tidigare värden i serien, så ibland presenteras TGARCH-modellen också i följande form: $\delta=1$ $\delta=2$

$\sigma _{t}=\alpha _{0}+\summa _{{i=1}}^{q}(\alpha _{i}^{+}u_{{ti}}^{+}+ \alpha _{i}^{-}u_{{ti}}^{-})+\summa _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{{tj}}$

var . $u^{+}=\max(0,u)~,~u^{-}=\max(0,-u)$

QGARCH

Quadratic GARCH (QGARCH) föreslog av Sentana 1995

$\sigma _{t}^{2}=\sigma ^{2}+a^{T}x_{tq}+x_{tq}^{T}Ax_{tq}+\summa _{j= 1}^{p}\beta _{j}\sigma _{tj}^{2}~,~~x_{tq}=(u_{t-1}...,u_{tq})^{T }$

där A är en symmetrisk positiv bestämd matris, a är en positiv vektor.

Denna modell tar, förutom hävstångseffekten, hänsyn till den möjliga interaktionen av påverkan av fördröjningar på grund av de off-diagonala elementen i matrisen A . Om matrisen A är diagonal och vektorn a är lika med noll, får vi standardmodellerna GARCH. Om, för en diagonal matris A , vektorn a är icke-noll, så har vi asymmetrisk GARCH. Om , där c är någon vektor, och koefficienterna , då får vi en linjär modell av standardavvikelsen $A=cc^{T},~a=2\sigma c$ $\beta _{j}=0$ $\sigma _{t}=|\sigma +c^{T}x_{{tq}}|$

Generalisering av modeller

APGARCH

Asymmetric Power GARCH (APGARCH)-modellen föreslogs av Ding och andra 1993 och är en generalisering av många andra modeller:

$\sigma _{t}^{{\delta }}=\alpha _{0}+\summa _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}(|u_{{ti}}| -\gamma _{i}u_{{ti)))^{{\delta }}+\summa _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{j}^{ {\delta }}~,~\delta >0,~-1<\gamma _{i}<1$

Om effektparametern är , och asymmetrifaktorn är , får vi de vanliga GARCH-modellerna. Om (skevhetsfaktorn också är noll), så får vi GARCH-modellen för den villkorade standardavvikelsen av Taylor (1986) och Schwert (1989): $\delta=2$ $\gamma _{i}=0$ $\delta=1$

$\sigma _{t}=\alpha _{0}+\summa _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}|u_{{ti}}|+\summa _{{j= 1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{j}$

Om asymmetrifaktorn inte är lika med noll får vi TGARCH-modellen. Om asymmetrifaktorn också tar icke-negativa värden så får vi GJR-GARCH. $\delta=2$

I det allmänna fallet, om , då får vi den icke-linjära GARCH (NGARCH) av Higgins och Behr, föreslagen 1992 $\gamma _{i}=0$

$\sigma _{t}^{{\delta }}=\alpha _{0}+\summa _{{i=1}}^{q}\alpha _{i}|u_{{ti}}|^ {{\delta }}+\summa _{{j=1}}^{p}\beta _{j}\sigma _{j}^({\delta }}~,~~,\delta >0$

Hentschel-modell (fGARCH)

Denna modell föreslogs av Hentschel 1995. Den använder den välkända Box-Cox-transformationen, vilket gör det möjligt att ta hänsyn till en stor variation av modeller. Modellen med en fördröjning har formen:

${\frac {\sigma ^{{\lambda }}-1}{\lambda }}=\alpha _{0}+\alpha \sigma _{{t-1}}^({\lambda }}f^ {{\nu }}(z_{{t-1}})+\beta {\frac {\sigma ^{{\lambda }}-1}{\lambda }}~,~~f(z_{{t -1}})=|z_{{t}}-b|-c(z_{{t}}-b)$

Om och b=0, då får vi APGARCH(1,1), och därmed alla privata modeller som tas med i den sista modellen. Denna modell, till skillnad från APGARCH, gör det också möjligt att erhålla EGARCH — i gränsen vid , är Box-Cox-transformationen lika med en logaritmisk funktion, och om , då får vi EGARCH(1,1). $\lambda=\nu$ $\lambda \högerpil 0$ $\nu=1$

Använda distributioner

GARCH-modeller använder olika distributioner för att bättre matcha de empiriska egenskaperna hos de finansiella serierna. Även användningen av normalfördelningen förklarar till stor del "fettsvansarna" i fördelningen av avkastning. Detta räcker dock inte. Det är ofta användbart att använda en Students fördelning med ett litet antal frihetsgrader, som i sig har fetare svansar än normalfördelningen. Sådana modeller kallas ibland för GARCH-t. För att ta hänsyn till asymmetri används även en speciell skev Students fördelning (Hansens t-fördelning). Sådana modeller kallas ibland för GARCH-HT

GED-distributioner.

Regressionsmodeller med GARCH-fel

Regressionsmodeller där det slumpmässiga felet uppfyller någon process av autoregressiv villkorad heteroskedasticitet kan uppskattas med den vanliga minsta kvadratmetoden , som i detta fall också ger de bästa linjära opartiska uppskattningarna, eftersom den ovillkorliga slumpmässiga felvariansen är konstant och det inte finns någon autokorrelation av slumpmässiga fel. Det är dock möjligt att erhålla mer effektiva icke-linjära estimatorer baserade på maximum likelihood-metoden . Till exempel kan det visas att tillämpningen av maximum likelihood-metoden på en modell med ett ARCH(1)-fel motsvarar att minimera följande funktion:

$\summa _{{t=1}}^{n}\ln(a_{0}+a_{1}e_{{t-1}}^{2})+\summa _{{t=1}} ^{n}{\frac {e_{t}^{2}}{a_{0}+a_{1}e_{{t-1}}^{2}}}$

e -rester av regressionsmodellen

Genom att ta hänsyn till ytterligare information om GARCH-processen i slumpmässiga fel kan man således få potentiellt mer exakta uppskattningar av modellparametrarna.

En ännu större effekt uppstår dock vid intervallkorttidsprognoser med regressionsmodeller. I det här fallet låter GARCH-modellen dig mer exakt uppskatta variansen beroende på tidigare information och bygga en mer exakt intervallprognos.

I detta avseende är det viktigt att testa ARCH-processen i modellfel.

ARCH-testning

Testet använder minsta kvadraters regressionsrester. För att göra detta konstrueras en hjälpregression av kvadraterna av residualerna på kvadraterna av de tidigare residualerna. Sedan, med hjälp av F-testet eller LM-testet , kontrolleras signifikansen av denna hjälpregression. Om den anses vara signifikant är ARCH-effekten signifikant. Annars kan det anses obetydligt.

Anteckningar

↑ Eduardo Rossi Endimensionella GARCH-modeller: en översikt // Kvantil. Nr 8, s. 1–67.