Axiomatisk kvantfältteori

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 augusti 2016; kontroller kräver 6 redigeringar .

Axiomatisk kvantfältteori är ett tillvägagångssätt inom kvantfältteorin baserat på användningen av fysikaliska axiom formulerade i en rigorös matematisk form.

Dess fördel är att den gör det möjligt att använda den deduktiva metoden, som konsekvenser av motsvarande satser (till exempel satsen om kopplingen av spinn med statistik och CPT-satser [1] ), för att härleda experimentellt observerbara fysiska konsekvenser som härrör från de fysiska begreppen av rum-tid formulerad av i form av matematiska axiom och därmed verifiera dessa initiala representationer själva. Det låter dig också logiskt kontrollera och förfina, om nödvändigt, de första bestämmelserna i kvantfältteorin.

Dess nackdel är att det, förutom satsen om sambandet mellan spin och statistik och CPT-satsen, inte är möjligt att få andra specifika, experimentellt verifierade konsekvenser av den (det är till exempel inte möjligt att konstruera en teori om interaktion fält och även en icke-trivial teori om S-matrisen [1] ).

I axiomatisk kvantfältteori används som regel Heisenbergs kvantmekaniska representation [2] , där tidsberoendet beskrivs av operatorer, och tillståndsvektorerna inte är beroende av tid.

Axiom för kvantfältteorin

Förhållandet mellan matematiska objekt och fysiska observerbara objekt

Tillstånden i ett fysiskt system beskrivs av normaliserade strålar i ett inramat Hilbert-utrymme med en positiv bestämd metrik. Varje uppmätt fysisk storhet är associerad med en självansluten operatör . Om värdet motsvarar operatorn , så motsvarar värdet operatorn [3] [4] [5] . $a$ $A$ $a$ $A$ $fa)$ $fa)$

Relativistisk invarians

Medelvärdena för fysiska observerbara objekt ändras inte med avseende på Poincarés egentransformer [2] [6] . Tillståndsvektorerna transformeras enligt representationerna av den universella täckande Poincaré-gruppen ( Bargman-Wigners teorem ) [7] . ${\bar {a}}=(\Psi ,A\Psi )$

Postulatet för lokalitet

Lokalitetspostulatet är ett uttryck för den relativistiska kausalitetsprincipen. Mätningar av fältkomponenter vid punkter åtskilda av ett mellanrumsliknande intervall är oberoende. Matematiskt betyder detta att fältoperatorer vid punkter åtskilda av ett mellanrumsliknande intervall antingen pendlar eller antipendlar med varandra [8] [9] [10] .

\left[\varphi _{j}(x),\varphi _{k}(y)\right]_{\pm }=\left[\varphi _{j}(x),\varphi _ {k}^{*}(y)\right]_{\pm }=0

på

(xy)^{2}<0

Här motsvarar kommuteringstecknet "-" det tensorbosoniska fältet, antikommuteringstecknet "+" motsvarar spinorfermionfältet (sats om förhållandet mellan spinn och statistik).

Principen om spektralitet

Representationen av den universella täckande Poincare-gruppen, som realiseras i Hilbert-rummet av tillståndsvektorer, sönderdelas till irreducerbara representationer av endast tre klasser [11] [12] :

$P^{2}=m^{2}>0,P_{0}>0$ är elementarpartiklar med positiv massa.

$P^{2}=0,P\neq 0,P_{0}>0$ — elementarpartiklar med noll massa .

$P=0$ — alla enhetliga representationer av denna klass, förutom den identiska, är oändligt dimensionella. Den identiska representationen motsvarar vakuum.

Här är kvadraten på den fyrdimensionella momentumoperatorn, är massan av en elementarpartikel, är den första komponenten i den fyrdimensionella momentumoperatorn. $P^{2}$ $m$ ${\displaystyle P_{0))$

Olösta problem i axiomatisk kvantfältteori

Det grundläggande problemet med axiomatisk kvantfältteori . Det finns ingen känd teori som tillfredsställer alla axiomen för axiomisk kvantfältteorin och som beskriver interagerande fält och en icke-trivial spridningsmatris [13] .
Beskrivningen av klassen av generaliserade funktioner som uppfyller villkoret för tvåpunkts Whiteman-funktionen [14] är okänd : . $F_{4}$ $\int \int \int f(x_{2},x_{1})f(x_{3},x_{4})F_{4}(x_{1}-x_{2},x_{ 2}-x_{3},x_{3}-x_{4})\prod _{i=1}^{4}d^{4}x_{i}\geqslant 0$

Tillvägagångssätt för konstruktionen av en axiomatisk kvantfältteori

Det finns två huvudsakliga tillvägagångssätt som säkerställer den exakta matematiska formuleringen och axiomatiserbarheten av kvantfältteorin: algebraisk och topologisk.

Algebraisk kvantfältteori (AQFT) [15]

Funktionell kvantfältteori (FQFT)

FQFT formaliserar Schrödinger-bilden av kvantmekanik (generaliserad till kvantfältteori ), där rum av kvanttillstånd tilldelas rymden och där linjära avbildningar tilldelas banor eller rum-tidsinterpolation mellan dessa rum.

Anteckningar

↑ 1 2 Bogolyubov, 1969 , sid. elva.
↑ 1 2 Bogolyubov, 1969 , sid. 103.
↑ Bogolyubov, 1969 , sid. 89.
↑ Streeter, 1966 , sid. 137.
↑ Yost, 1967 , sid. 82.
↑ Yost, 1967 , sid. 83.
↑ Bogolyubov, 1969 , sid. 106.
↑ Bogolyubov, 1969 , sid. 176.
↑ Streeter, 1966 , sid. 139.
↑ Yost, 1967 , sid. 85.
↑ Bogolyubov, 1969 , sid. 112.
↑ Streeter, 1966 , sid. 136.
↑ Bogolyubov, 1969 , sid. 176,213.
↑ Bogolyubov, 1969 , sid. 190.
↑ F. Strocchi. Relativistisk kvantmekanik och fältteori // Fysikens grunder. - 2004-03-01. - T. 34 , nej. 3 . — S. 501–527 . — ISSN 0015-9018 . - doi : 10.1023/B:FOOP.0000019625.30165.35 . Arkiverad från originalet den 24 februari 2017.

Litteratur

Bogolyubov N. N. , Logunov A. A. , Todorov I. T. Grunderna i det axiomatiska tillvägagångssättet i kvantfältteori. — M .: Nauka, 1969. — 424 sid.
Streeter R., Wightman A. PCT, spinn och statistik och allt det där. — M .: Nauka, 1966. — 251 sid.
Yost R. Allmän teori om kvantiserade fält. - M . : Mir, 1967. - 236 sid.

I bibliografiska kataloger	GND : 4364009-6