Fourieranalys

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 18 mars 2022; kontroller kräver 5 redigeringar .

Fourieranalys är en analysriktning som studerar hur generella matematiska funktioner kan representeras eller approximeras genom summan av enklare trigonometriska funktioner . Fourieranalys har sitt ursprung i studiet av egenskaperna hos Fourier-serien och är uppkallad efter Joseph Fourier , som visade att representera en funktion som summan av trigonometriska funktioner förenklar i hög grad studiet av värmeöverföring.

Fourieranalys kan användas för att lösa ett brett spektrum av matematiska problem. Inom vetenskap och teknik kallas processen att sönderdela en funktion till oscillerande komponenter Fourieranalys, och driften och återställningen av funktioner från sådana delar kallas Fouriersyntes.

Till exempel, för att bestämma vilka frekvenskomponenter som finns i en musiknot, tillämpas Fourier-analys på den valda musiknoten. Därefter kan du syntetisera samma ljud med de frekvenskomponenter som upptäcktes under analysen.

Nedbrytningsprocessen kallas Fouriertransformen .

Applikation

Fourieranalys har många tillämpningar inom vetenskapen - inom fysik, partiella differentialekvationer, talteori, kombinatorik, signalbehandling, digital bildbehandling, sannolikhetsteori, statistik, kriminalteknik, kryptografi, numerisk analys, akustik, oceanografi, geometri, strukturanalysproteiner och annat områden.

Denna breda tillämpbarhet beror på många användbara egenskaper hos transformationen:

Transformationen är en linjär avbildning och, under lämplig normalisering, också enhetlig (denna egenskap är känd som Parsevals sats , eller mer allmänt som Plancherels sats, och generellt på grund av Pontryagins begrepp om dualitet ) [1] .

Transformationen är vanligtvis reversibel.
Exponentialfunktionerna är egenfunktioner för differentiering, vilket innebär att en sådan representation gör linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter till vanliga algebraiska ekvationer ( Evans 1998 ). Således är det möjligt att analysera beteendet hos linjära stationära system oberoende för varje frekvens.
Tack vare faltningssatsen förvandlar Fouriertransformer en komplex faltningsoperation till en enkel multiplikation, vilket innebär att sådana transformationer tillåter beräkningar med faltningsbaserade operationer, som multiplikation av polynom och multiplikation av stora tal, på ett effektivt sätt [2] .
Den diskreta versionen av Fouriertransformen kan snabbt beräknas av datorer som använder Fast Fourier Transform (FFT) algoritmer [3] .

Inom kriminalteknik använder infraröda laboratoriespektrofotometrar Fourier-transformanalys för att mäta ljusets våglängd vid vilken ett material kommer att absorbera infrarött. Fouriertransformmetoden används för att avkoda de uppmätta signalerna och registrera våglängdsdata. Och när man använder en dator används sådana beräkningar snabbt, så en sådan datorstyrd enhet kan producera ett infrarött absorptionsspektrum på några sekunder [4] .

Fouriertransformen används också för att kompakt representera en signal. Till exempel använder JPEG- komprimeringsalgoritmen en modifiering av Fourier-transformen (diskret cosinustransform) för små kvadratiska bitar av en digital bild. Fourierkomponenterna i varje kvadrat avrundas nedåt till mindre än aritmetisk precision, och mindre komponenter försummas, så de återstående komponenterna kan lagras mycket kompakt. Under bildrekonstruktion återställs varje kvadrat från de bevarade ungefärliga Fourier-transformkomponenterna, som sedan omvandlas tillbaka till en ungefär återställd originalbild.

Varianter av Fourieranalys

Den (kontinuerliga) Fouriertransformen

Oftast, utan förbehåll, betyder Fouriertransformen att man applicerar ett verkligt argument på transformens kontinuerliga funktioner, vilket resulterar i en kontinuerlig funktion av frekvensen, känd som frekvensfördelningar. En funktion går över i en annan, och själva operationen är reversibel. När domänen för ingångsfunktionen (initial) är tid ( t ) och domänen för den initiala (slutliga) funktionen är frekvens, ges transformationen av funktionen s ( t ) vid frekvens f av:

S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-2i\pi ft}\,dt.

Beräkningen av detta värde för alla värden på f bildar en funktion i frekvensdomänen. Då kan s ( t ) representeras som rekombinationer av komplexa exponenter för alla möjliga frekvenser:

s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{2i\pi ft}\,df,

som är formeln för det reciproka av det komplexa talet, S ( f ) , innehåller både amplituden och fasen för frekvensen f .

Fourier-serien

Fouriertransformen av en periodisk funktion, s P ( t ) , med period P , blir en funktion som är en Dirac-kam som moduleras av en sekvens av komplexa koefficienter:

S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k}{P}} t}\,dt

för alla heltalsvärden av k , och där ∫ P är integralen över ett intervall med längden P.

Den inversa transformationen, känd som Fourier-serien, är en representation av s P ( t ) i termer av summan av ett potentiellt oändligt antal harmoniskt relaterade sinusoider, eller komplexa exponentialfunktioner, som var och en har amplitud och fas som ges av en av koefficienterna:

s_{P}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{2i\pi {\frac {k}{P}}t} \quad {\stackrel {\displaystyle {\mathcal {F))}{\Longleftrightarrow ))\quad \sum _{k=-\infty }^{+\infty }S[k]\,\delta \left( f-{\frac {k}{P}}\höger).

När s P ( t ) anges som den periodiska summan av en annan funktion, s ( t ) :

s_{P}(t)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),

koefficienterna är proportionella mot elementen i S ( f ) för diskreta intervall P :

S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).

{\displaystyle \int _{P}\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP)\right)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k }{P}}t}\,dt=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k}{P}} t}\,dt} _{{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,S\left({\frac {k}{P}}\right)))

Ett tillräckligt villkor för att rekonstruera s ( t ) (och därmed S ( f ) ) endast från dessa element (d.v.s. från Fourier-serien) är att provet s ( t ) som inte är noll kommer att begränsas till ett känt intervall med längden P , med fördubbling av frekvensdomänen enligt Nyquist-Shannons samplingssats .

Se även

Anteckningar

↑ Rudin, 1990 .
↑ Knuth, 1997 .
↑ Conte, de Boor, 1980 .
↑ Saferstein, Richard. Criminalistics: An Introduction to Forensic Science (engelska) . — 2013.

Litteratur

Conte, SD; deBoor, Carl. Elementär numerisk analys . — Tredje. - New York: McGraw Hill, Inc., 1980. - ISBN 0-07-066228-2 .
Evans , L. Partiella differentialekvationer . - American Mathematical Society, 1998. - ISBN 3-540-76124-1 .
Howell, Kenneth B. Principer för Fourieranalys . - CRC Press , 2001. - ISBN 978-0-8493-8275-8 .
Kamen, E.W.; Heck, BS Fundamentals of Signals and Systems using the Web and Matlab . - 2. - Prentiss-Hall, 2000. - ISBN 0-13-017293-6 .
Knuth, Donald E. Konsten att programmera volym 2 : Seminumeriska algoritmer . — 3:a. - Addison-Wesley Professional , 1997. - P. Avsnitt 4.3.3.C: Diskreta Fouriertransformers, s.305. — ISBN 0-201-89684-2 .
Müller, Meinard. Fouriertransformen i ett nötskal . - Springer, 2015. - P. In Fundamentals of Music Processing , avsnitt 2.1, sid. 40-56. — ISBN 978-3-319-21944-8 . - doi : 10.1007/978-3-319-21945-5 .
polyanin, AD; Manzhirov, A. V. Handbook of Integral Equations (engelska) . - Boca Raton: CRC Press , 1998. - ISBN 0-8493-2876-4 .
Rudin, Walter. Fourieranalys av grupper . - Wiley-Interscience , 1990. - ISBN 0-471-52364-X .
Smith, Steven W. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing . — För det andra. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-3-3 .
Stein, E.M.; Weiss, G. Introduktion till Fourieranalys på euklidiska utrymmen . — Princeton University Press , 1971. — ISBN 0-691-08078-X .

Länkar

Tabeller över integrerade transformationer på EqWorld: The World of Mathematical Equations.
En intuitiv förklaring av Fourierteorin av Steven Lehar.
Föreläsningar om bildbehandling: En samling av 18 föreläsningar i pdf-format från Vanderbilt University. Föreläsning 6 handlar om 1- och 2-D Fourier Transform. Föreläsningar 7-15 använder sig av det. av Alan Peters
Moriarty, Philip; Bowley, Roger ∑ Sammanfattning (och Fourieranalys) . Sextio symboler . Brady Haran för University of Nottingham (2009). (obestämd)

Ordböcker och uppslagsverk

I bibliografiska kataloger
BNE : XX527483 BNF : 11942178c GND : 4023453-8 J9U : 987007548251005171 LCCN : sh85051088 NKC : ph117564 SUDOC : 04070890X , 027363988