Parsevals sats

Parsevals teorem brukar förstås som Fouriertransformens enhetlighet . Det vill säga summan (eller integralen) av funktionens kvadrat är lika med summan (eller integralen) av kvadraten av resultatet av transformationen. Det bör noteras att den allmänna formen av Parsevals teorem ofta kallas Plancherel -satsen eller den generaliserade Rayleigh-formeln . Teoremet bevisades för serier av Marc-Antoine Parseval 1799 och tillämpades senare på Fourier -serier .

Satsen har formen

\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{\mathcal { F}}\{x(t)\}|^{2}dw,

där betecknar en kontinuerlig Fouriertransform som relaterar en temporal eller rumslig signal till dess representation i frekvensdomänen . $\mathcal{F}\{\cdot\}$ $x(t)$ $X(f)$

En mer generell och exakt formulering av Parsevals sats i teorin om Fourierintegralen ser ut så här. Låt funktionerna och tillhöra rummet av kvadratintegrerbara funktioner och låt respektive vara deras Fouriertransformer. Sedan: [1] $f_{1}(x)$ $f_{2}(x)$ $L^{2}$ $g_{1}(u)$ $g_{2}(u)$

\int _{-\infty }^{\infty }g_{1}(u)g_{2}(u)du=\int _{-\infty }^{\infty }f_{1}( x)f_{2}(-x)dx

I diskret form skrivs satsen så här:

\sum_{i=0}^{N-1} | x(i) |^2 = {1\över N} \sum_{k=0}^{N-1} | X(k) |^2

var är den diskreta Fouriertransformen av en signal med sampel. $X(k)$ $x(k)$ $N$

Parsevals teorem fastställer likhet mellan energin hos en signal och energin i dess spektrum.

MATLAB -kodexempel som visar Parsevals teorem

N = 100 ; % antal prover x = randn ( 1 , N ); % normal distribution Et = norm ( x ) ^ 2 ; % eller så: Et = summa(x.^2); fprintf ( 'Tidsdomänens signalenergi:%f \n' , Et ); X = fftn ( x ); Ew = 1 / N * norm ( X ) ^ 2 ; % eller så: Ew = 1/N * summa(abs(X).^2); fprintf ( 'Frekvensdomänens signalenergi:%f \n' , Ew ); xnew = ifftn ( X ); Etn = norm ( xnew ) ^ 2 ; % eller så här: Etn = summa(xnew.^2); fprintf ( 'Tidsdomänens signalenergi:%f \n' , Etn ); Resultatet av programmet ------------------------------------ Tidsdomänens signalenergi : 94.236108 Frekvensdomänens signalenergi : 94.236108 Tidsdomänens signalenergi : 94.236108 _ _ _ _ _ _

Anteckningar

↑ N. Wiener Fourier-transform i den komplexa domänen. - M., Nauka, 1964. - sid. elva

Litteratur

Baskakov, S. I. Radiotekniska kretsar och signaler. - 3:e uppl. - M . : "Högstadiet", 2000. - 462 sid. — ISBN 5-06-003843-2 .
Gonorovsky, I. S. Radiotekniska kretsar och signaler. - 4:e uppl. - M . : "Radio och kommunikation", 1986. - 512 s.

Parsevals sats

Anteckningar

Litteratur

Se även