Atlas (topologi)

Atlas - konceptet med differentialgeometri , vilket gör att du kan introducera ytterligare strukturer på grenröret ; till exempel en slät struktur eller en komplex struktur.

Atlasen består av individuella kartor som beskriver enskilda områden av mångfald. Om vi med mångfald menar jordens yta, får orden "karta" och "atlas" sina vanliga betydelser.

Definitioner

Låta vara ett talfält (till exempel , eller ), vara ett topologiskt utrymme . $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $X$

Kartan är ett par där $(U,f)$

U

är en öppen uppsättning

X

f

är en homeomorfism från till en öppen uppsättning till

U

K^n

Lokal karta kommer in i kurvlinjära koordinater genom att associera en punkt med en uppsättning siffror $U$ $x=f^{-1}(t)$ $t=(t^{1},...,t^{n})$

Om domänerna för två kartor och skär varandra ( ), så mellan uppsättningarna och det finns ömsesidigt inversa mappningar (homeomorfismer), kallade jämförelsefunktioner eller limmapping : $(U_{1},f_{1})$ $(U_{2},f_{2})$ $U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ $f_{1}(U_{2})$ $f_{2}(U_{1})$ ${\begin{matrix}f_{12}=f_{1}\circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}\cap U_{2})}& :\ f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\\f_{21}=f_{2}\circ f_ {1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\to f_ {2}(U_{1}\cap U_{2})\end{matris}}$

En atlas är en uppsättning koordinerade kartor , sådana som bildar en rymdtäckning . Här är några index. I det här fallet kallas en atlas jämn (av klass ) eller analytisk om koordinatändringsfunktionerna för alla kartor är jämna (av klass ) eller analytiska. ${\displaystyle \{(U_{\alpha },f_{\alpha })\))$ $\alpha \in {\mathcal {A}}$ $\{U_{\alpha }\}$ $X$ ${\mathcal {A}}$ $C^k$ $f_{\alpha _{1}\alpha _{2))$ $C^k$

Relaterade definitioner

Två jämna (analytiska) atlaser sägs vara konsekventa om deras förening också är en jämn (analytisk) atlas.