Rössler attraktion

Rössler-attraktorn är en kaotisk atttraktor som systemet med Rössler-differentialekvationer har [1] :

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}=-yz\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz} {dt}}=b+z(xc)\end{matris}}\höger.$ ;

var finns positiva konstanter. För värdena på parametrarna och har Rössler-ekvationerna en stabil gränscykel . Med dessa parametrars värden uppstår en periodfördubblingskaskad i systemet . Vid uppstår en kaotisk attraktion . Väldefinierade linjer med gränscykler suddar ut och fyller fasutrymmet med en oändlig uppsättning banor som har egenskaperna hos en fraktal . $a,b,c$ $a=b=0.2$ $2.6\leq c\leq 4.2$ $c>4.2$

Rössler själv studerade systemet med konstanter , och , men värdena , , och används också ofta [2] . $a=0.2$ $b=0.2$ $c=5.7$ $a=0.1$ $b=0.1$ $c=14$

Analys av systemets beteende i planet

Två av Rösslersystemets ekvationer är linjära. När de tar formen $z=0$

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{matrix}}\right .$

Därför bestäms rörelsestabiliteten i planet av egenvärdena för Jacobi-matrisen , som är lika med . $z=0$ ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}$ ${\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}$

Slutsats

Låt oss hitta matrisens egenvärden

${\begin{pmatrix}0-\lambda &-1\\1&a-\lambda \\\end{pmatrix))$ .

Determinanten är alltså $-\lambda a+{\lambda }^{2}+1=0$

$\lambda _{1,2}={\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}$

När , egenvärdena har en positiv reell del och är komplexa konjugerade. Därför avviker fasbanor från ursprunget i en spiral. Låt oss nu analysera förändringen i koordinater , räkna . Så länge den är mindre än kommer faktorn i ekvationen för att hålla banan nära platt . Så fort den blir större kommer -koordinaten att börja växa. I sin tur kommer en stor parameter att börja bromsa tillväxten i . $0<a<2$ $z$ $0<a<2$ $x$ $c$ $xc$ ${\frac {dz}{dt))$ $x,y$ $x$ $c$ $z$ $-z$ $x$ ${\frac {dx}{dt))$

Fasta punkter

Ekvationer för fixpunkter kan hittas genom att sätta derivatorna i Rösslers ekvationssystem lika med noll. Som ett resultat visar det sig att det finns två fasta punkter:

\left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2)),{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab)) }{2a)),{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)

\left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2)),{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab)) }{2a)),{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2a))\right)

Som du kan se i Rössler-atttraktorprojektionsbilden ovan, är en av dessa punkter belägen i centrum av attraktionsspiralen, och den andra är långt ifrån den.

Ändra parametrarna a, b och c

Rössler-attraktorns beteende beror starkt på värdena för de konstanta parametrarna. En förändring av varje parameter har en viss effekt, som ett resultat av att en stabil fixpunkt kan dyka upp i systemet, en gränscykel, eller så kommer systemets lösningar att "rinna iväg" i det oändliga.

Bifurkationsdiagram är ett standardverktyg för att analysera beteendet hos dynamiska system, inklusive Rössler-attraktorn. De skapas genom att lösa ekvationerna i ett system där två variabler är fixerade och en ändras. När man konstruerar ett sådant diagram erhålls nästan helt "skuggade" regioner; detta är det dynamiska kaosets rike.

Ändra parametern a

Vi fixar och vi kommer att förändras . $b=0.2$ $c=5.7$ $a$

Som ett resultat, empiriskt, får vi följande tabell:

$a\leq 0$ : Konvergerar till en stabil punkt.
$a=0.1$ : Spinning med en period av 2.
$a=0.2$ : Kaos (standardparameter för Rössler-ekvationerna) .
$a=0.3$ : Kaotisk attraktion.
$a=0.35$ : Liknar den föregående, men kaoset är mer uttalat.
$a=0.38$ : Liknar den föregående, men kaoset är ännu starkare.

Ändra b-parametern

Vi fixar , och nu kommer vi att ändra parametern . Som framgår av figuren, eftersom atttraktorn tenderar mot noll, är den instabil. När den blir större och , kommer systemet att balansera och gå in i ett stationärt tillstånd. $a=0.2$ $c=5.7$ $b$ $b$ $b$ $a$ $c$

Ändra c-parametern

Fixa och ändra . Det kan ses från bifurkationsdiagrammet att, vid små värden , är systemet periodiskt, men när det ökar blir det snabbt kaotiskt. Figurerna visar exakt hur slumpmässigheten i systemet förändras med ökande . Till exempel, vid = 4, kommer atttraktorn att ha en period lika med ett, och det kommer att finnas en enda linje på diagrammet, samma sak kommer att hända när = 3, och så vidare; tills det blir mer än 12: det sista periodiska beteendet kännetecknas av detta värde, då går kaos överallt. $a=b=0.1$ $c$ $c$ $c$ $c$ $c$ $c$

Vi ger illustrationer av atttraktorns beteende i det angivna värdeintervallet , som illustrerar det allmänna beteendet hos sådana system - frekventa övergångar från periodicitet till dynamiskt kaos. $c$

Se även

Lorentz attraktion

Anteckningar

↑ Peitgen, Heinz-Otto ; Jürgens, Hartmut & Saupe, Dietmar (2004), 12.3 The Rössler Attractor, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science , Springer, sid. 636–646 .
↑ Letellier, C.; V. Meddelande. Influenser på Otto E. Rösslers tidigaste artikel om kaos // International Journal of Bifurcation & Chaos : journal. - 2010. - Vol. 20 , nej. 11 . - P. 3585-3616 .

Länkar

Flash-animation
OE ROSSLER - EN EKVATION FÖR KONTINUERLIG KAOS (inte tillgänglig länk)
Java-animation av Rössler och Lorenz-atttraktorer Arkiverad 2008-03-11
Attraktionskonstruktör för MacOS
Rössler attraktion på Scholarpedia.org

Litteratur

Voronov V.K., Podoplelov A.V. Modern Physics: Lärobok. M., KomKniga, 2005, 512 s., ISBN 5-484-00058-0 , kap. 2 Fysik i öppna system. s 2.4 Rösslers kaotiska attraktion.