Gimlet regel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 december 2019; kontroller kräver 30 redigeringar .

Gimlet- regel ( skruvregel ) - någon av de många varianterna av mnemonregeln för att bestämma riktningen för vektorprodukten och det närbesläktade valet av rätt bas [a] i tredimensionellt rymden , överenskommelsen om den positiva orienteringen av bas i den, och följaktligen tecknet för varje axiell vektor som bestäms av genom orienteringen av basen.

Som regel anses valet av en av de två möjliga riktningarna för den axiella vektorn vara rent godtyckligt; det måste bara alltid ske på samma sätt, så att tecknet inte förväxlas i slutresultatet av beräkningarna. Detta är vad reglerna som beskrivs i den här artikeln är till för: de låter dig alltid hålla dig till samma val.

Tillämpning av regeln

Under namnet högerhandsregeln finns flera ganska olika regler (inklusive ett antal varianter av "vänsterhandsregeln"). I praktiken kan man begränsa sig till att välja från hela uppsättningen av dessa regler (eller liknande) i olika formuleringar av en som tillhör en universell typ: bestämma tecknet för en vektorprodukt eller orienteringen av en bas.

Ett sådant val anses vara det minsta nödvändiga : utan minst en version av "gimlets regel" är det inte bara omöjligt att följa allmänt accepterade konventioner, utan det är också extremt svårt att upprätthålla konsistens även i arbetsberäkningar. Samtidigt räcker det med en version av regeln: istället för alla regler som nämns i den här artikeln eller andra liknande dem [b] , kan du bara använda en, om du bara vet ordningen på faktorer i formler som innehåller vektorprodukter.

Speciellt gäller denna regel för att bestämma riktningen [c] för sådana viktiga axiella vektorer inom fysiken som vinkelhastighetsvektorn som kännetecknar kroppens rotationshastighet, den magnetiska induktionsvektorn B och många andra, såväl som för att bestämma riktningen av sådana vektorer, som bestäms genom axiell , till exempel riktningen av induktionsströmmen för en given vektor av magnetisk induktion.

För många av dessa fall, förutom den allmänna formuleringen som gör det möjligt att bestämma riktningen för vektorprodukten eller orienteringen av basen i allmänhet, finns det speciella formuleringar av regeln, mycket mindre generella, men väl anpassade till den specifika situation.

Allmän (huvud)regel

Huvudregeln som kan användas både i varianten av gimlet (skruv)-regeln och i varianten av högerhandsregeln är regeln för att välja riktning för baser och vektorprodukt (eller till och med för en av de två, eftersom en bestäms direkt av den andra). Den är den huvudsakliga eftersom den räcker för att användas i alla fall istället för alla andra regler, om man bara känner till ordningen på faktorerna i motsvarande formler.

Valet av en regel för att bestämma den positiva riktningen för en vektorprodukt och för en positiv bas (koordinatsystem) i det tredimensionella rummet är nära relaterade.

Båda dessa regler är rent godtyckliga, men det är vanligt (åtminstone om inget annat uttryckligen anges) att anta, och detta är en allmänt accepterad konvention, att den rätta basen är positiv och vektorprodukten definieras så att för en positiv ortonormal bas (basen för rektangulära kartesiska koordinater med enhetsskala i alla axlar, bestående av enhetsvektorer i alla axlar) [d] följande: $\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z$

\vec e_x \times \vec e_y = \vec e_z,

där det sneda korset betecknar operationen av vektormultiplikation.

Som standard är det vanligt att använda positiva (och därmed rätta) baser. Det är vanligt att använda vänster baser främst när det är väldigt obekvämt eller omöjligt att använda den högra (till exempel om vår högra bas reflekteras i spegeln, då är reflektionen en vänsterbas, och ingenting kan göras åt det) .

Därför är regeln för korsprodukten och regeln för att välja (konstruera) en positiv grund inbördes konsekventa.

De kan formuleras så här:

För en vektorprodukt

Gimlet (skruv) regel för en vektorprodukt : "Om du ritar vektorerna så att deras början sammanfaller och roterar den första faktorvektorn på det kortaste sättet till den andra faktorvektorn, så kommer gimleten (skruven) som roterar på samma sätt att skruvas i vektorns riktning".

(Med skruv och gimlet menar vi här en skruv med högergänga, vilket anses vara den allmänt accepterade standarden [e] , eller en gimlet även med en högerskruv på spetsen, som också är den stora majoriteten av riktiga verktyg).
Detta kan omformuleras i termer av medurs, eftersom en högerskruv per definition är en som vrids (framåt) när vi vrider den medurs .

En variant av gimlet (skruv) regeln för en vektorprodukt genom en medurs : "Om vi ritar vektorerna så att deras början sammanfaller och roterar den första multiplikatorvektorn på det kortaste sättet till den andra multiplikatorvektorn och tittar från andra sidan så att denna rotation är medurs för oss pilen kommer vektor-produkten att riktas bort från oss (skruva djupt in i klockan).

Högerhandsregel för korsprodukt (första alternativet) : "Om du ritar vektorerna så att deras början sammanfaller och roterar den första multiplikatorvektorn på det kortaste sättet till den andra multiplikatorvektorn, och fyra fingrar på höger hand visar rotationsriktningen (som om den täcker en roterande cylinder), då kommer den utskjutande tummen att visa produktvektorns riktning.

Högerhandsregel för en vektorprodukt (andra alternativet) : "Om du ritar vektorerna så att deras början sammanfaller och pekar högerhands första (tum) finger längs den första faktorvektorn, den andra (index) längs den andra faktorn vektor, då kommer den tredje (mitten) att visa (ungefär) riktningen för vektorprodukten” (se figur).

När det gäller elektrodynamik riktas strömmen (I) längs tummen, den magnetiska induktionsvektorn (B) riktas längs pekfingret och kraften (F) kommer att riktas längs långfingret. Mnemoniskt är regeln lätt att komma ihåg genom förkortningen FBI (force, induction, current eller Federal Bureau of Investigation (FBI) översatt från engelska) och fingrarnas position, som påminner om en pistol.

För baser

Alla dessa regler kan naturligtvis skrivas om för att bestämma basernas orientering. Låt oss bara skriva om två av dem:

Högerhandsregel för basen : "Om i basen (som består av vektorer längs x-, y- och z -axlarna ), är det första (tum-)fingret på höger hand riktat längs den första basvektorn (det vill säga längs x axeln ), den andra (index) längs den andra (det vill säga längs y ), och den tredje (mitten) kommer att riktas (ungefär) i riktning mot den tredje (längs z ), då är detta den rätta grunden (som det visade sig i figuren). $e_x, e_y, e_z$

Gimlet (skruv) regel för basen : "Om du roterar gimlet och vektorer så att den första basvektorn tenderar till den andra på kortast möjliga sätt, då kommer gimleten (skruven) att skruvas i riktning mot den tredje basvektorn, om detta är rätt grund.”

Allt detta motsvarar naturligtvis en förlängning av den vanliga regeln för val av koordinatriktning på planet (x är till höger, y är upp, z är på oss). Den senare kan vara en annan mnemonisk regel som kan ersätta regeln om en gimlet, högerhand etc. som vi vill definiera, och den kan utökas på vilket sätt som helst).

Uttalanden av gimlet (skruv) regeln eller högerhandsregeln för speciella fall

Det nämndes ovan att alla olika formuleringar av gimlet (skruv) regeln eller högerhandsregeln (och andra liknande regler), inklusive alla som nämns nedan, inte är nödvändiga. Det är inte nödvändigt att känna till dem om du känner till (åtminstone i ett av alternativen) den allmänna regeln som beskrivs ovan och du känner till ordningen på faktorer i formler som innehåller en vektorprodukt.

Men många av reglerna som beskrivs nedan är väl anpassade till speciella fall av deras tillämpning och kan därför vara ganska bekväma och lätta att snabbt bestämma vektorernas riktning i dessa fall [f] .

Högerhandsregel eller gimlet (skruv) för mekanisk hastighetsrotation

Högerhands- eller gimlet (skruv) regel för vinkelhastighet

Det är känt att hastighetsvektorn för en given punkt är associerad med vinkelhastighetsvektorn och vektorn ritad från en fast punkt till en given, som deras korsprodukt: ${\vec {v}}$ $\vec\omega$ ${\vec {r))$

\vec v = \vec \omega \times \vec r.

Uppenbarligen är därför skruvregeln och högerregeln som beskrivits ovan för tvärprodukten tillämpliga för att bestämma riktningen för vinkelhastighetsvektorn. Men i det här fallet kan reglerna formuleras på ett ännu enklare och mer minnesvärt sätt, eftersom vi talar om en mycket verklig rotation:

Gimlet (skruv) regel: "Om du vrider skruven (gimlet) i den riktning som kroppen roterar, kommer den att skruva (eller skruva loss) i den riktning som vinkelhastigheten är riktad."

Högerhandsregel: "Om vi föreställer oss att vi tog kroppen i vår högra hand och roterar den i den riktning där fyra fingrar pekar, så kommer den utskjutande tummen att peka i den riktning dit vinkelhastigheten är riktad under sådan rotation."

Regeln för höger hand eller gimlet (skruv) för rörelsemängden

Reglerna för att bestämma rörelsemängdens riktning är helt lika , vilket inte är förvånande, eftersom rörelsemängden är proportionell mot vinkelhastigheten med en positiv koefficient [g] .

Regeln för höger hand eller gimlet (skruv) för kraftmomentet

För krafternas ögonblick (vridmoment)

\vec M = \sum_i [\vec r_i\times\vec F_i]

reglerna är också generellt sett lika, men vi formulerar dem explicit.

Gimlet (skruv) regel: "Om du vrider skruven (gimlet) i den riktning i vilken krafterna tenderar att vrida kroppen, kommer skruven att skruvas (eller skruvas loss) i den riktning i vilken momentet av dessa krafter riktas."

Högerhandsregel: "Om vi föreställer oss att vi tog kroppen i vår högra hand och försöker vända den i den riktning där fyra fingrar pekar (krafterna som försöker vända kroppen är riktade i riktning mot dessa fingrar), då den utskjutande tummen kommer att peka i den riktning där den riktas vridmoment (momentet av dessa krafter).

Högerhandsregel och gimlet (skruv) i magnetostatik och elektrodynamik

För magnetisk induktion ( Biot-Savart lag )

Gimlet (skruv) regel: "Om riktningen för translationsrörelsen för gimlet ( skruv ) sammanfaller med riktningen för strömmen i ledaren, så sammanfaller rotationsriktningen för gimlethandtaget med riktningen för den magnetiska induktionsvektorn för fältet som skapas av denna ström."

Högerhandsregel: "Om du tar tag i ledaren med din högra hand så att den utskjutande tummen indikerar strömmens riktning, kommer de återstående fingrarna att visa riktningen för ledarens höljen för linjerna för magnetisk induktion av det skapade fältet av denna ström, och därmed riktningen för vektorn för magnetisk induktion , riktad överallt tangentiellt till dessa linjer."

För solenoiden

Högerhandsregel: "Om du tar tag i solenoiden med din högra hand så att fyra fingrar är riktade längs strömmen i svängarna, så kommer tummen som lagts åt sidan att visa riktningen för magnetfältslinjerna inuti solenoiden."

För ström i en ledare som rör sig i ett magnetfält

Högerhandsregeln: "Om högerhandens handflata är placerad så att den inkluderar magnetfältets kraftlinjer och den böjda tummen riktas längs ledarens rörelse, kommer fyra fingrar utsträckta att indikera induktionsströmmens riktning."

För Maxwells ekvationer

Eftersom rotoroperationen (betecknad rot ) som används i de två Maxwell-ekvationerna kan skrivas formellt som en vektorprodukt (med nabla- operatorn ), och viktigast av allt eftersom krulningen av ett vektorfält kan liknas (är en analogi) med vinkeln rotationshastighet [h] för en vätska, vars flödeshastighetsfält representerar ett givet vektorfält, kan vi använda för rotorn de formuleringar av regeln som redan har beskrivits ovan för vinkelhastigheten.

Således, om du vrider gimlet i riktningen för det virvlande vektorfältet, kommer det att skruvas i riktningen för rotorvektorn för detta fält. Eller: om du pekar med högerhands fyra fingrar, knuten till en knytnäve, i virvelns riktning, så kommer den böjda tummen att visa rotorns riktning.

Från detta följer reglerna för lagen om elektromagnetisk induktion , till exempel: "Om du pekar med högerhands böjda tumme på riktningen för det magnetiska flödet genom kretsen, om det ökar, och i motsatt riktning, om det minskar, då kommer de böjda fingrarna som täcker kretsen att visa motsatt riktning (från - för minustecknet i formeln) till riktningen för EMF i denna krets, inducerad av det förändrade magnetiska flödet.

Reglerna för Ampère-Maxwell-lagen sammanfaller i allmänhet med reglerna som ges ovan för vektorn för magnetisk induktion som skapas av strömmen, bara i detta fall är det nödvändigt att lägga till den elektriska strömmen genom kretsen flödet av förändringshastigheten av det elektriska fältet genom denna krets och tala om magnetfältet i termer av dess kretscirkulation.

Vänsterhandsregler

Första regeln för vänster hand

Om vänster handflata är placerad så att induktionslinjerna för magnetfältet kommer in på insidan av handflatan, vinkelrätt [i] mot den, och fyra fingrar riktas längs strömmen, ställs tummen åt sidan med 90 ° kommer att indikera riktningen för kraften som verkar från magnetfältet på ledaren med ström. Denna kraft kallas för Ampère-kraften . Det är vänsterhandsregeln för strömmen

Den andra regeln för vänster hand

Om laddningen rör sig och magneten är i vila, gäller vänsterhandsregeln för att bestämma kraftens riktning: "Om vänster hand är placerad så att induktionslinjerna för magnetfältet kommer in på insidan av handflatan vinkelrätt mot den, och fyra fingrar är riktade längs strömmen (positivt längs den rörelseladdade partikeln eller mot rörelsen av en negativt laddad), då kommer tummen åt sidan med 90 ° att visa riktningen för den verkande kraften hos Lorentz eller Ampère .

Exempel

Se även

Kommentarer

↑ Matematiska detaljer om det allmänna begreppet orientering av basen, som diskuteras här, se artikeln Orientering .
↑ Detta betyder att andra regler också kan vara praktiska i valfritt antal, men att de inte behöver användas.
↑ Definitionen av riktningen här betyder överallt valet av en av två motsatta riktningar (valet mellan endast två motsatta vektorer), det vill säga det handlar om valet av en positiv riktning.
↑ Du kan kontrollera att detta i allmänhet är sant, baserat på den elementära definitionen av en vektorprodukt: En vektorprodukt är en vektor vinkelrät mot båda faktorvektorerna och lika i storlek (längd) med arean av ett parallellogram . Detsamma, vilken av de två möjliga vektorerna som är vinkelräta mot de två givna, att välja - och det är ämnet för huvudtexten, regeln som tillåter dig att göra detta och kompletterar definitionen som ges här anges där.
↑ Vänstergängan används i modern teknik endast när användningen av en högergänga skulle leda till risken för spontan avskruvning under påverkan av den konstanta rotationen av denna del i en riktning - till exempel en vänstergänga gängan används på den vänstra änden av en cykelhjulaxel. Dessutom används vänstergängor i regulatorer och brännbara gasflaskor för att undvika att ansluta en regulator för brännbar gas till syrgasflaskan .
↑ I synnerhet kan de i sina fall vara mer bekväma än den allmänna regeln, och även ibland formulerade tillräckligt organiskt för att vara särskilt lätta att komma ihåg; vilket dock inte verkar göra det lättare att komma ihåg dem alla än att bara komma ihåg en allmän regel.
↑ Även om vi har att göra med en ganska asymmetrisk (och asymmetriskt placerad i förhållande till rotationsaxeln) kropp, så att proportionalitetskoefficienten mellan vinkelhastigheten och rörelsemängden är tröghetstensorn, som inte kan reduceras till en numerisk koefficient , och vinkelmomentvektorn är då generellt sett inte parallell med vinkelhastighetsvektorn, dock fungerar regeln i den meningen att riktningen anges ungefär, men detta räcker för att göra ett val mellan två motsatta riktningar.
↑ Strängt taget, med denna jämförelse finns det också en konstant koefficient på 2, men detta är inte viktigt i detta ämne, eftersom vi nu pratar om vektorns riktning och inte om dess storlek.
↑ Inget krav.

Källor

Länkar

Gimlet Rule (video) Arkiverad 9 april 2016 på Wayback Machine