Ampère-Maxwell lag

Betrakta specifikt kretsen som visas i diagrammet som innehåller en kondensator [2] .

Till exempel kan det vara en enkel oscillerande krets, som i figuren (kondensatorn indikeras på den som C och L är en induktor). (Faktum är att vi bara är intresserade av delen av kretsen nära kondensatorn, och resten av kretsen är inte viktig, det vill säga istället för L kan det bara finnas en tråd [3] , eller så kan den innehålla vilken enhet som helst som (automatiskt eller manuellt) kan ändra strömmen som flyter in i en kondensator, till exempel kan det vara ett elektriskt batteri med en strömbrytare. Vi kommer för enkelhetens skull anta att gapet mellan kondensatorplattorna inte innehåller ett medium som kan polarisera , det vill säga det är vakuum (eller, säg, luft, vars polariserbarhet kan försummas med god noggrannhet).

Med andra ord, här kan vi begränsa oss till att endast överväga denna del av kedjan:

Nu kan vi börja analysera arbetet med Ampère-formeln i detta speciella exempel.

1. Konsistensen av den ursprungliga satsen i vårt exempel för fallet med likström:

I fallet med det pålagda tillståndet med konstant ström i kretsen visar det sig att strömmen genom kondensatorn helt enkelt inte kan flyta. Faktum är att om strömmen som flyter till kondensatorplattorna inte förändras med tiden, växer laddningen på plattorna till oändlighet, vilket uppenbarligen är fysiskt meningslöst, och detta alternativ kan säkert uteslutas från övervägande [4] . Alltså fungerar Amperes sats uppenbarligen i detta fall, eftersom det inte finns några strömmar och magnetfält, d.v.s. vänster och höger sida av ekvationen

bara noll [5] .

Allt förändras dock dramatiskt när vi tänker på växelströmmar (vilket naturligtvis är möjligt i verkligheten). Denna formel börjar ge inkonsekventa resultat om du försöker använda den.

2. Motsägelsen av den ursprungliga formeln i fallet med växelström:

Vi väljer faktiskt en specifik integrationsyta så att den passerar mellan plattorna på kondensatorn (det vill säga i figuren - nästan horisontell, för att passera mellan de horisontella plattorna utan att röra dem; vi kommer - bara för tydlighetens skull och bekvämligheten - anta att det är nästan horisontellt och bortom kanterna kondensatorplattor, du kan välja det både strikt horisontellt) och sträcker sig utanför dess kanter, det vill säga en större yta än plattorna. Då kommer kanten på denna yta , som är en kontur för beräkning av integralen (cirkulation B ) på vänster sida, att vara en kurva runt kondensatorn (och om vi väljer strikt horisontellt kommer denna kontur också att ligga i horisontalplanet) .

Ytan korsas ingenstans av ledaren, ingen ström flyter genom den ( j i kondensatorgapet är noll överallt, det finns inga laddningar som kan bära ström). Detta betyder att den högra sidan av ekvationen är lika med noll, och om vi antar att ekvationen i sig är sann, är den vänstra sidan också lika med noll - det vill säga magnetfältets cirkulation längs kanten :

Låt C beteckna denna kant av ytan (integreringskonturen på vänster sida av ekvationen): .

Det är dock inte den enda ytan som har en sådan kant. På konturen C kan du "sträcka ut" en annan yta som inte sammanfaller med S , och till och med oändligt många olika ytor (så att alla kanten kommer att sammanfalla).

Specifikt väljer vi ("sträcka ut" på C ) en annan yta så att dess kant sammanfaller med C , och den själv passerar inte genom kondensatorns gap, utan lite högre och korsar tråden som levererar ström till kondensatorn (t.ex. ytan kan erhållas genom att böja upp den något).

Uppenbarligen är integralen på höger sida, som är den elektriska strömmen genom ytan , inte lika med noll:

Det visade sig vara en motsägelse, eftersom på vänster sida pga

står samma kontur integral över konturen C och de högra sidorna ger olika resultat:

Följaktligen Ampere-formeln i sin ursprungliga form vid växelströmmar [6] .

3. Hitta ett ändringsförslag som eliminerar motsägelsen:

Det är redan rent kvalitativt ganska uppenbart att i kondensatorns gap (där ytan passerar och där j \u003d 0) finns det förmodligen det enda som skulle kunna ersätta j så att integralen över ger samma resultat som över , och därmed har motsättningen tagits bort. Detta är ett föränderligt elektriskt fält.

Dessutom är det omedelbart klart att förändringshastigheten i den elektriska fältstyrkan i kondensatorn är proportionell mot strömmen som kommer till denna kondensator (och denna ström är integralen över den andra ytan:

Det betyder att det finns en chans att vi genom att integrera över ytan får ett resultat som sammanfaller med I (kanske genom att multiplicera med någon koefficient).

Nu återstår det att ta reda på vad denna koefficient ska vara och se till att alla detaljer i beräkningarna matchar.

För att göra detta uttrycker vi nu fältet i kondensatorn kvantitativt: (i de måttenheter vi har valt här [7] ).

Om det är lagligt att försumma kanteffekterna (förutsatt att arean på kondensatorplattorna är mycket stor och avståndet mellan dem är litet) [8] , kan vi använda formeln för fältstyrkan skriven ovan över hela området av kondensatorn (med undantag för själva kanterna, områden nära vilka vi försummar), och vektorns E riktning är överallt (med samma undantag) vinkelrät mot plattorna (vertikal i figuren). Laddningsdensiteten (i samma approximation) beror inte på positionen (konstant på den stora majoriteten av plattan).

Kommer från hela den här tråden

Det vill säga att den är exakt lika med I , vilket betyder att koefficienten inte behövs (den är lika med en) [9] .

Så vi har för korrigeringstermen (som vi motiverade för integration över , men som tydligen borde förbli densamma för en godtycklig integrationsyta)

och själva Ampere-formeln, efter att ha lagt till denna korrigeringsterm, tar formen:

eller

(I vårt exempel, när vi integrerar över - termen "fungerar" - på denna yta , och när vi över - termen "fungerar " förvandlas den till noll på denna yta [10] ).

Således har vi hittat Maxwells korrigeringsterm till Ampère-formeln och har visat att den eliminerar inkonsekvensen i formeln i vårt enkla exempel. Faktum är att det eliminerar inkonsekvensen i formeln inte bara i det här fallet utan alltid. Beviset för det sista påståendet finns i nästa avsnitt, det är lite mer formellt.

Standard allmän motivering

Här kommer vi att visa att en korrigering av Ampere-formeln är nödvändig och att den kan ha den form som föreslagits av Maxwell, och även, om möjligt, kommer vi att spåra hur den kan konstrueras korrekt utifrån tillräckligt naturliga och konstruktiva överväganden.

1. Låt oss börja med påståendet om bevarandet av laddning. [elva]

Bevarandet av laddning uttrycks av kontinuitetsekvationen :

där  är strömtätheten,  är laddningstätheten,  är strömtäthetens divergens .

2. Låt oss analysera konsistensen av Ampere-formeln i det magnetostatiska fallet i följande mening:

På dess vänstra sida finns en cirkulation längs en viss kontur, som är kanten på integrationsytan på höger sida. Det står också att formeln alltid är sann, det vill säga för alla ytor. Två olika ytor (och i allmänhet godtyckligt många olika ytor) kan dock ha en sammanfallande kant; med andra ord kan vi sträcka två olika ytor (och fler om det behövs) på samma kontur.

Uppenbarligen, för två olika ytor som spänner över samma kontur, kommer den vänstra sidan av ekvationen att vara densamma. På höger sida kommer det att gå en ström (flux j ) genom två olika ytor, och om den inte visar sig vara densamma, så är Ampères formel internt inkonsekvent redan i magnetostatiken. Låt oss visa att så inte är fallet.

I princip skulle det räcka att lägga märke till att strömlinjerna är stängda eller går i oändlighet. (Detta uttalande verkar intuitivt uppenbart, om du märker att strömmarna i magnetostatiken per definition är konstanta, och laddningen är bevarad - och därför har strömtätheten inga källor och sjunker, vilket betyder att strömlinjerna inte har någon början eller slut, och därför är de alla antingen stängda eller går till oändligheten). Sedan, i vilken sluten yta som helst (eller i ett par olika ytor som sträcks över av samma kontur, som tillsammans bildar en sluten yta) finns det lika många strömlinjer som kommer in som ut ur den.

Således, i magnetostatik, är fältet j solenoidalt .

Nu är det användbart att visa detta också utifrån kontinuitetsekvationen.

Inom magnetostatik , eftersom en förändring i laddningstätheten skulle leda till en förändring i det elektriska fältet som genereras av det, det vill säga det skulle bryta mot villkoren för fältens konstantitet.

Genom att ersätta detta med kontinuitetsekvationen får vi omedelbart att för magnetostatik har den formen:

Detta är villkoret för solenoidaliteten för fältet j (eftersom vi integrerar divergensen j över vilken volym som helst, erhåller [12] flödet genom dess yta, och det kommer att vara lika med noll, eftersom divergensen är noll överallt. [13]

3. Nu noterar vi att i fallet med övergång till det allmänna (elektrodynamiska) fallet, går solenoidaliteten för fältet j omedelbart förlorad.

Ja, nu, generellt sett, och därmed

Således får vi resultatet att det ursprungliga analytiska uttrycket av mönstret som härletts av Ampère endast innehåller beteckningen av strömstyrkan på höger sida av formeln och kan accepteras, men med villkoret intern inkonsekvens (av de skäl som diskuterats) ovan, nämligen om , så finns det en volym, integralen över vilken från en sådan divergens inte är lika med noll, och därför finns det en ström som inte är noll från denna yta [14] , vilket betyder att du kan hitta två ytor spänns av samma kontur, genom vilken strömmar med olika värden flyter, vilket betyder att om den initiala Ampères formel är korrekt. I det här fallet kommer vi att få två olika ömsesidigt uteslutande cirkulationsvärden längs samma krets, det vill säga, en motsägelse.Tillräckligt villkorad.

4. Nu återstår det att hitta en korrigering som skulle eliminera denna motsägelse.

Baserat på det faktum att vi vill lämna den allmänna strukturen för Ampère-formeln, skulle det mest naturliga sättet att korrigera det vara att försöka återställa representationen av fältet som en solenoid (på höger sida), men eftersom fältet j i det allmänna fallet, representerad som en solenoid, förlorar modellens synlighet, det är naturligt - man skulle behöva föreställa sig vilken mer komplett modell det skulle kräva för att återställa solenoidaliteten (varefter formeln skulle bli internt konsekvent, förmodligen i den allmänna fall).

Vi noterar också att denna korrigering bör försvinna i fallet med tidskonstanta fält och konstanta strömmar.

Eftersom, när man bevisar hypotesen om "solenoidalitet" för fältet j i magnetostatik, med icke-solenoidala modeller, i elektrostatik måste man acceptera kontinuitetsekvationen. Sedan kan man med naturlig logik härleda tanken att försöka använda den för införandet av ändringsförslag. Faktum är att i det magnetostatiska fallet får båda uttrycken samtidigt ett nollvärde - och , och . Och för att kompensera för det icke-nollflöde som beskrivs av den första delen i det allmänna fallet, skulle det vara naturligt att använda den andra, eftersom deras summa alltid kommer att vara lika med noll.

Låt oss se hur man använder .

Det är känt från elektrostatiken [15] att [16]

Genom att postulera att denna ekvation också är sann inom elektrodynamik, jämför vi den med kontinuitetsekvationen

Det är uppenbart att genom att differentiera den första ekvationen med avseende på tid, får vi omedelbart termen av intresse för oss på dess högra sida :

Om vi ​​ersätter det med kontinuitetsekvationen har vi omedelbart:

och

Det vill säga fältet  är solenoidalt.

Och detta betyder att om vi lägger till följande tillägg till j i Ampère-formeln så förlorar denna formel, som den verkar för oss, sin inre inkonsekvens (åtminstone när vi betraktar de förment existerande motsägelserna i den ursprungliga Ampère-formeln) och får egenskaper och en form mycket nära egenskaperna och formen av den ursprungliga Ampere-formeln, för fallet med magnetostatiska krafter. Och när man byter till magnetostatik försvinner korrigeringen, det vill säga överensstämmelseprincipen är uppfylld , och den generaliserade Ampère-Maxwell-lagen går i detta speciella fall in i det tidigare Ampere-satsen om cirkulationen av ett magnetfält.

Så vi tror att vi har kunnat visa följande, Ampère-Maxwell-lagen med korrigeringen införd på detta sätt (och postulerar korrektheten av Gauss-lagen i det allmänna fallet), kan tjäna som en korrekt generalisering av Ampère formel för det allmänna elektrodynamiska fallet.

Ytterligare heuristiska överväganden

Trots att det ur en formell synvinkel finns tillräckliga skäl för det korrigeringsvillkor som införts av Maxwell, för beskrivningarna som ges i artikeln ovan, ur en historisk synvinkel. Det är troligt att följande tillägg, som härrör från heuristisk erfarenhet, kan vara viktiga och kan ge en ytterligare tankegång i rätt riktning när man letar efter en bredare tolkning för att generalisera Ampères satser.

Dessutom kan vissa av dessa överväganden ha oberoende betydelse, i betydelsen att fördjupa förståelsen av strukturen och det fysiska innehållet i de processer som beskrivs av Maxwells ekvationer.

Förskjutningsström i dielektrikum

En av de viktigaste, förmodligen sådana heuristiska sökningarna som några av våra överväganden lägger fram (ur en historisk synvinkel, utan tvekan kontroversiell) är observationen av förskjutningsströmmen i ett dielektrikum .

Faktum är att i fallet när vi inte talar om ett vakuum, utan om ett dielektriskt medium, så finns det i detta medium en förskjutningsström (som ur en grundläggande synvinkel är en vanlig elektrisk ström. Men det kan betraktas som ganska väl "dolda" från de mest direkta typerna av observationer), vilket delvis kompenserar för missanpassningen i Ampères formel genom att delvis ersätta ledningsströmmen i de områden där det inte finns någon ledare. Strukturen för förskjutningsströmmen i dielektrikumet (i betydelsen av dess analytiska uttryck) innehåller parametern för förändringshastigheten för det elektriska fältet med tiden och sammanfaller praktiskt taget med den som ger den införda korrigeringen. Med tanke på att förspänningsströmmen i dielektrikumet på detta sätt ger en partiell kompensation för felet (missanpassningen) i Ampères formel, är det inte långt ifrån tanken att ett liknande tillägg ska kompensera för missanpassningen helt.

Den del av korrigeringsdelen av formeln som saknas för att helt kompensera för missanpassningen kallas (i analogi med den dielektriska förskjutningsströmmen) vakuumförskjutningsströmmen.

• Notera: vakuumförskjutningsströmmen är inte en "riktig" elektrisk ström, trots att den formellt sett är väldigt lik den i sättet den kommer in i Ampère-Maxwells ekvation (det verkar som att den har ett uttryck som är praktiskt taget detsamma som den dielektriska förskjutningsströmmen och ingår i denna är ekvationen helt lika med dielektrikets förskjutningsström, som i sin tur är en verklig elektrisk ström).
  • Om vakuumförskjutningsströmmen vore en sann elektrisk ström, skulle laddningarna som skapas av den helt eliminera det elektriska fältet som genererar den, eftersom denna ström orsakas av den och induceras (vilket både är ganska absurt att acceptera, och absolut inte motsvarar till den observerade klassen av fenomen).
  • Ur vår tids synvinkel är sammanträffandet i form av termen med förskjutningsströmmen för dielektrikum ganska slumpmässigt, och sammanträffandet av termen förskjutningsström i förhållande till dielektrikum och vakuum är rent betingat. Likväl visade sig analogin, även om den betraktades som rent formell, som vi ser vara mycket produktiv.

Symmetri av elektrodynamiska ekvationer

Ändringen, genom att införa ett tillägg till Maxwell-formeln, gör, enligt vår mening, ekvationssystemet som beskriver elektromagnetism mer symmetriskt (praktiskt sett perfekt symmetriskt) och därför mer visuellt. Det kan sägas "vackert", och skönhetskriteriet anses ofta vara en av de etiska huvudpunkterna när man utvärderar fysiska teorier.

Dessutom, baserat på önskan att göra ekvationssystemet mer symmetriskt, kan man praktiskt taget gissa formen på vår "korrigeringsterm", åtminstone upp till ett tecken och kanske en konstant koefficient.

Maxwells ekvationssystem [17] :

ser utan tvekan mer symmetrisk ut [18] än det skulle vara om korrigeringstermen togs bort från den fjärde ekvationen . Dessutom kan formen av denna term som helhet gissas utifrån dessa överväganden.

Anteckningar

1. ↑ Det är inte helt klart vilken roll resonemanget som beskrivs i denna artikel spelade i Maxwells tänkande när det gällde att skriva den korrekta ekvationen, men logiskt sett motiverar det helt Maxwells korrigering, oavsett hur korrekt rekonstruktionen av hans tillvägagångssätt är.
2. ↑ För de flesta av styckets resonemang kan du bara överväga ett avbrott i kretsen, men detta är också en variant av kondensatorn (laddningar ackumuleras i ändarna av ledningen); i slutet av stycket, för att få korrigeringens form på enklaste sätt, är det bäst att anta att vi har att göra med en idealisk platt kondensator.
3. ↑ Men tråden har också viss induktans , så det här fallet skiljer sig inte från spolhöljet.
4. ↑ Om ett sådant fall fortfarande formellt ingår i klassen av fall av magnetostatik på basis av att strömmen under en begränsad tid kan förbli konstant, så visar det sig att redan i detta fall är Ampère-satsen internt inkonsekvent och kräver korrigering (se längre fram i artikeln). Detta är en av anledningarna till att det är logiskt att utesluta en sådan variant av konstant ström från magnetostatiken.
5. ↑ Här har vi speciellt beaktat endast fallet när en kondensator är insatt. Och det faktum att formeln är konsekvent när det gäller likström för kretsar som inte innehåller avbrott (kondensatorer) tar vi som ett faktum känt från magnetostatiken. I synnerhet, om vi utför alla argument som ges längre fram i denna paragraf och som leder till en motsägelse vid växelström i en ledning med brott (kondensator), för fallet med en ledning utan brott, där strömmen är densamma i sina olika sektioner, vi kommer att få en icke-motsägelse , och konsekventa resultat.
6. ↑ även i det fall då strömmen förblir konstant under en viss tidsperiod - eftersom allt i vårt resonemang förblir detsamma även i detta fall
7. ↑ Om systemet med enheter som valts i denna artikel (den mest förenklade formeln), se artikeln ovan. I andra enhetssystem kommer formeln för E att skilja sig med en konstant koefficient, till exempel i SI , vilket naturligtvis också kommer att påverka koefficienten för korrigeringstermen i det slutliga svaret - beroende på det valda enhetssystemet.
8. ↑ Detta är bara nödvändigt för att förenkla beräkningarna så mycket som möjligt, vilket kommer att göra deras innebörd mer uppenbar.
9. ↑ Återigen, i vårt system av enheter (vilket inte är förvånande, eftersom det var speciellt valt så att alla onödiga koefficienter försvinner)
10. ↑ För att Fältet i den approximation vi har antagit är helt koncentrerat i kondensatorns gap och utanför det är det försumbart litet.
11. ↑ Att utgå från bevarandet av laddning krävs inte för att visa den inre inkonsekvensen av Ampères formel utanför magnetostatiken. Laddningskonservering visar sig dock vara viktig för den konstruktiva konstruktionen av Maxwell-korrigeringen. I denna mening kan det noteras att konstruktionen som presenteras här tjänar som en illustration av påståendet: om laddningen inte bevarades, skulle elektrodynamiken som helhet inte kunna vara densamma som den är.
12. ↑ Enligt Ostrogradskij-Gauss teorem
13. ↑ Detta resonemang kan vändas om, det vill säga det kan visas att om laddningen inte var bevarad i magnetostatik, det vill säga om den kunde skilja sig från noll utan att bryta mot villkoren för den magnetostatiska situationen, så skulle Ampères sats inte vara sann ( formeln skulle vara internt inkonsekvent) i magnetostatik (vilket naturligtvis betyder att magnetostatiken i detta imaginära fall skulle vara helt annorlunda, och det är till och med svårt att föreställa sig hur den sedan skulle kunna formuleras i form av en fältteori; även om , naturligtvis, om vi för magnetostatik begränsar oss helt enkelt till Biot-Savart-lagen och Ampère-kraften , skulle ingen ansträngning av fantasi krävas för att föreställa oss magnetostatik med öppna strömmar).
14. ↑ Detta påstående är nästan uppenbart, eftersom det kan reduceras till det faktum att inuti eller utanför utrymmet, villkorligt stängt av ytan, kan en (växel)ström flyta ut eller flöda in i det. Det är dock användbart för oss att relatera detta uttalande till kontinuitetsekvationen direkt med tanke på följande presentation.
15. ↑ Se Gauss sats .
16. ↑ I systemet med enheter som används i denna artikel
17. ↑ Här skrivs det i enhetssystemet c = 1, vilket betonar symmetrin i detta system; användandet av andra enheter kunde dock inte helt dölja det.
18. ↑ Detta är ännu mer uppenbart för ett ekvationssystem utan laddningar: