Viktmatris

I matematik är en viktad ordningsmatris med en vikt en -matris så att , där är transponeringen av matrisen och är ordningens identitetsmatris . En viktmatris kallas också ett viktschema . $W$ $n$ $w$ $n\ gånger n$ $(0,1,-1)$ $WW^{T}=wI_{n}$ $W^{T}$ $W$ $I}$ $n$

För enkelhetens skull betecknas ordnings- och viktmatrisen ofta som . $n$ $w$ $W(n,w)$

$W(n,n-1)$ motsvarar konferensmatrisen och motsvarar Hadamard-matrisen . $W(n,n)$

Egenskaper

Vissa egenskaper följer direkt av definitionen:

Raderna i viktmatrisen är parvis ortogonala. Likaså för kolumner.
Varje rad och varje kolumn innehåller exakt icke-nullelement. $w$
$W^{T}W=wI$ , eftersom det följer av definitionen (det antas att vikten inte är lika med 0). ${\displaystyle W^{-1}=w^{-1}W^{T))$
${\displaystyle \mathrm {det} (W)=\pm w^{n/2))$ , där är matrisens determinant . $det(W)$ $W$

Två viktmatriser anses vara ekvivalenta om den ena kan erhållas från den andra genom en serie permutationer och multiplikationer av rader och kolumner i den ursprungliga matrisen med minus ett. Viktmatriserna är helt klassificerade för de fall då , såväl som alla fall när . [1] . Förutom detta är mycket lite känt om klassificeringen av cirkulerande viktmatriser . $w\leq 5$ $n\leq 15$

Exempel

Observera att vid visning av viktmatriser används symbolen för −1. $-$

Låt oss ge två exempel: är en viktmatris (Hadamard-matris) och är en viktmatris. $W_2$ $W(2,2)$ ${\displaystyle W_{7))$ $W(7,4)$

$W_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&-\end{pmatrix}}$
$W_{7}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0\\1&-&0&0&1&1&0\\1&0&-&0&-&0&1\\\1&0&0&-&0&-&-\\\0&1&-&0&0&1&0&1\0&1&0&1&0&1-\1&0 &-&1&0\end{pmatrix}}$

Öppna frågor

Det finns många öppna frågor om viktmatriser. Främst bland dessa är deras existens: för vilka tal n och w existerar W ( n , w )? Mycket i denna fråga är fortfarande okänt. En lika viktig men ofta outforskad fråga är hur man räknar dem: givet n och w , hur många matriser W ( n , w ) finns? Mer djupgående kan man undra över klassificering i termer av struktur, men idag är detta långt bortom vår förmåga, även för Hadamard-matriser eller konferensmatriser.

Länkar

Om Hotellings vägningsproblem , Alexander M. Mood, Ann. Matematik. statistik. Volym 17, nummer 4 (1946), 432-446.

Anteckningar

↑ M. Harada, A. Munemasa, On the classification of vägande matriser och självortogonala koder, 2011, http://arxiv.org/abs/1011.5382 Arkiverad 21 januari 2022 på Wayback Machine .