Vågnummer

vågnummer
$\k$
Dimensionera	L −1
Enheter
SI	m −1
GHS	cm −1
Anteckningar
skalär

Vågtal är förhållandet mellan 2 π radianer och våglängden:

k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda )),

- rumslig analog av vinkelfrekvensen [1] .

Vågtalet är associerat med en annan storhet som kallas den rumsliga frekvensen - antalet perioder av svängningar i rymden per längdenhet [2] [3] . Inom spektroskopi är det den rumsliga frekvensen som kallas vågtalet och brukar mätas i reciproka centimeter (cm −1 ).

Vanlig notation [4] : . $k$

Definition : vågtalet k är tillväxthastigheten för vågens fas φ längs den rumsliga koordinaten [5] :

k\equiv {\frac {d\varphi }{dx)).

I det endimensionella fallet tilldelas vågnumret vanligtvis ett minustecken om vågen utbreder sig i negativ riktning (mot axeln). I flerdimensionell är detta vanligtvis en synonym för det absoluta värdet av vågvektorn eller dess komponenter (flera vågnummer enligt antalet koordinataxlar), det kan också vara en projektion av vågvektorn på någon specifik vald riktning.

Eftersom vågnumret i de flesta fall endast är meningsfullt när det appliceras på en monokromatisk våg (strikt monokromatisk, eller åtminstone nästan monokromatisk), kan derivatan i definitionen (för dessa vanligaste fall) ersättas med ett finit skillnadsuttryck:

k\equiv {\frac {\Delta \varphi }{\Delta x)).

Baserat på detta kan du få olika mer eller mindre bekväma formuleringar [6] :

Vågnumret är skillnaden i vågens fas (i radianer) vid samma tidpunkt vid rumsliga punkter på ett avstånd av en längdenhet (en meter).
Vågtalet är antalet rumsliga perioder (puckel) för vågen per 2 π meter.
Vågtalet är lika med antalet radianer för en våg över ett 1 meter långt segment.

I spektroskopi hänvisas till vågnumret ofta enkelt som det reciproka av våglängden (1/λ), vanligtvis mätt i reciproka centimeter (cm -1 ). Denna definition skiljer sig från den vanliga genom att faktorn 2 π saknas .

Måttenheten är rad · m −1 , den fysiska dimensionen är m −1 (i CGS- systemet : cm −1 ).

Används inom fysik , matematik [7] ( Fouriertransform ), och applikationer som bildbehandling .

Grundläggande förhållanden

k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_({\varphi }}}}={\frac {\omega }{v_{{\ varphi }}}},

var:

λ är våglängden ,

\nu

(grekisk bokstav "nu") - frekvens ,

v

φ är vågens fashastighet , ω är vinkelfrekvensen .

För en monokromatisk resande våg kan man skriva:

\varphi =kx-\omega t

- för fasen;

u(x,t)=const\cdot {\mathrm {cos}}(kx-\omega t+\varphi _{0})

- för själva vågen;

eller

u(x,t)=const\cdot e^{{i(kx-\omega t)}}

— för en komplex våg; här kan döljas i ,

\varphi_{0}

konst

för en monokromatisk stående våg:

u(x,t)=const\cdot \mathrm {cos} (k\cdot (x-x_{0}))\mathrm {cos} (\omega \cdot (t-t_{0})) .

Anteckningar

Vågnumret är exakt definierat för en monokromatisk våg. Vågtalet hänvisar till vågor av en annan typ genom begreppet spektrum (det vill säga genom Fouriertransformer), det vill säga en icke-monokromatisk våg innehåller i allmänhet monokromatiska komponenter med olika vågtal i olika proportioner; nästan monokromatiska vågor kan dock ungefärligen beskrivas som vågor med ett visst vågnummer (deras spektrum är huvudsakligen koncentrerat nära ett värde av vågnumret).

Ibland, till exempel, i den kvasi-geometriska (kvasi-klassiska) approximationen , kan man betrakta vågtalet (vågvektorn) som långsamt förändras i rymden, det vill säga vågen är inte lika monokromatisk, utan som kvasi-monokromatisk. I det här fallet är det naturligtvis bättre att använda definitionen av vågtalet (vågvektorn) med en derivata, snarare än med ändliga skillnader.

Faktum är att det enda fysiskt meningsfulla fallet där vågnumret (vågvektorn) kan ändras med x , även relativt snabbt, är fallet med banintegralformalismen . I det här fallet, i teorin för att beskriva vågen, finns det vågor av en mycket speciell form:

u(x,t)=e^{i\int (kdx-\omega dt)},

för vilket det nämnda är ganska korrekt och meningsfullt.

Vågnummer i kvantfysik

Inom kvantfysiken är det associerat med momentumkomponenten i en given riktning:

p_{x}=\hbar k_{x},

var

p x är momentumkomponenten i x -riktningen (för ett endimensionellt system, det totala momentumet), k x är vågtalet (en komponent av vågvektorn ) i x -riktningen (för ett endimensionellt system är det helt enkelt ett vågtal), ħ är den reducerade Planck-konstanten ( Dirac-konstanten ).

Eftersom Planck-konstanten är en universell konstant kan vi helt enkelt göra ħ = 1 genom att välja ett system av enheter.

p_{x}=k_{x},

det vill säga i kvantfysiken är begreppen momentumkomponent och vågnummer i huvudsak desamma . Detta kan betraktas som en av de grundläggande principerna för kvantmekaniken.

Detsamma kan sägas för det totala momentumet och vågtalet utan att ange riktningen för vågvektorns absoluta värde ):

p = \hbar k,

och i enheter ħ = 1:

p=k

I ett särskilt fall, för ljus i vakuum (och, i princip, alla andra masslösa fält, ungefär för ultrarelativistiska partiklar), kan man också skriva:

k={\frac {E}{\hbar c)),

var

E - energi , ħ är den reducerade Planck-konstanten ( Dirac-konstanten ), c är ljusets hastighet i vakuum.

Vågnummer i elektrodynamik

Låt oss skriva ekvationen för en plan elektromagnetisk våg:

$\Delta \mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}}$

$\Delta \mathbf {H} ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2}}$

I koordinatform:

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} E_{y} \over \partial t^{2}}$ (ett)

${\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} H_{z} \over \partial t^{2}}$

Lösningen på dessa ekvationer blir:

$E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx)$ (2)

$H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)$

$\omega$ - vågfrekvens

$k$ - vågnummer

$c$ är ljusets hastighet i ett vakuum

Ersätt ekvation (2) till (1) :

$E_{m}k^{2}\cos(\omega t-kx)={\frac {1}{c^{2}}}E_{m}\omega ^{2}\cos(\ omega t-kx)$

$k={\frac {\omega }{c))$ [åtta]

Vågtalet är alltså antalet vibrationer per meter.

Se även

våg vektor

Anteckningar

↑ Cirkulär frekvens mäts i radianer per sekund, vågnummer mäts i radianer per meter
↑ Dessa är nästan fullständiga synonymer, som skiljer sig något endast i traditionella användningspreferenser inom olika områden, så termen vågnummer används främst inom fysik (dock tillsammans med termen rumslig frekvens ), i matematik och olika tillämpningar (som bildbehandling) vanligtvis termen rumslig frekvens och till och med bara frekvens används för ett liknande koncept . Dessutom noterar vi att för termen rumslig frekvens ( frekvens ) är en flerdimensionell förståelse ofta tillåten , det vill säga att den också används som en praktisk synonym för termen vågvektor , medan för termen vågnummer sådan användning praktiskt taget är utesluten för uppenbar skäl. Komponenterna i vågvektorn kan dock kallas vågnummer längs koordinataxlarna.
↑ Fysiskt uppslagsverk. I 5 volymer / Kap. ed. A. M. Prokhorov. Ed. räkna D.M. Alekseev, A.M. Baldin. - M .: Soviet Encyclopedia + Great Russian Encyclopedia. — 1998.
↑ Andra används ofta, som regel uttryckligen.
↑ I det endimensionella fallet är valet av den rumsliga koordinaten entydigt (upp till spegelreflektion), i det flerdimensionella fallet väljs som standard x -koordinaten så att den sammanfaller med riktningen för den maximala fastillväxthastigheten , det vill säga vinkelrät mot fasfronten; i detta fall är vågtalet det absoluta värdet av vågvektorn . Slutligen, ibland ges riktningen x explicit och kanske inte sammanfaller med den nyss nämnda; då brukar man tala om vågtalet i x-riktningen och uttryckligen ange detta i notationen: . $k_{x}$
↑ Inklusive formuleringen i början av artikeln
↑ I matematik (och många tillämpningar) - främst i terminologisk form, rumslig frekvens eller till och med bara frekvens .
↑ I.V. Savelyev "Course of General Physics" Volym II stycke "Plane Electromagnetic Wave"