Ett mycket begränsat set

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 december 2020; verifiering kräver 1 redigering .

En mängd sägs vara fullständigt begränsad om det för någon positiv ε finns ett ändligt ε-nätverk för den mängden.

Anteckningar

Begreppen fullständig begränsning och begränsning sammanfaller i fallet med ändligt dimensionella euklidiska rum . Det räcker faktiskt att ta en minimal kub som innehåller en given avgränsad uppsättning med sida . Bryt den sedan i kuber med sidor . Kubernas hörn ger ett ändligt ε-net, önskat ε uppnås genom att öka . $\mathbb {R^{n}}$ $a$ $k^{n}$ $a/k$ $k$
Om nya mått introduceras på ett ändligt dimensionellt utrymme, kan avgränsade mängder upphöra att vara helt avgränsade. Ett sådant resultat ges till exempel av ett mått eller ett diskret mått . $\mathbb {R^{n}}$ $d(x,y)=\min(1,\mid xy\mid )$
I ett oändligt dimensionellt rum är begränsadhet inte heller helt identisk med begränsadhet. I enhetsbollen krävs ett oändligt antal kulor med radien ε<1 för att täcka punkter av formen , . $l^2$ $e_{i}=(0\dots 0,1,0\dots 0)$ $i\in \mathbb {N}$
I ett komplett metriskt utrymme innebär fullständig avgränsning prekompakthet . Denna egenskap krävs i beviset för Arzela-Ascolis sats .
Ibland förväxlas termen "fullständigt begränsad" ( eng. totally bounded ) med termen "fullständigt begränsad" ( eng. helt begränsad ). Det senare är relaterat till linjära operatorer från kvantfunktionsanalys.

Litteratur

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Element i teorin om funktioner och funktionell analys. - ed. fjärde, reviderad. — M .: Nauka , 1976 . — 106 sid.