Utbuktning av kassaflöde

Konvexitet är ett kännetecken för kassaflödet för ett instrument (till exempel obligationer), vilket är ett mått på känsligheten hos dess varaktighet för räntor .

Konvexiteten fungerar som en andra ordningens justering som förfinar effekten av räntor på nuvärdet av en obligations kassaflöde.

Korrigeringen beror på det faktum att nuvärdets beroende av räntan är icke-linjär, så lineariseringen av detta beroende med användning av duration kanske inte exakt återspeglar räntornas inverkan.

Redovisning av konvexitet gör det möjligt att klargöra effekten av räntor, inklusive att ta hänsyn till asymmetrin i effekten av räntor med stigande och sjunkande räntor.

I allmänhet gäller att ju högre konvexitet är, desto känsligare är priset på en obligation för en ränteminskning och desto mindre känslig är priset på en obligation för en räntehöjning.

Motivering och definition (beräkningsformel)

Genom att använda de två första termerna i expansionen av funktionen av nuvärdets beroende av räntan i en Taylor-serie får vi: $PV(r)$

${\displaystyle \Delta PV(r)\approx PV'(r)\Delta r+0.5PV''(r)[\Delta r]^{2))$

Om vi dividerar detta uttryck med PV(r), får vi:

$\delta PV={\frac {\Delta PV}{PV}}\approx {\frac {PV'}{PV}}\Delta r+0.5{\frac {PV''}{PV}}[ \Delta r]^{2}$

Den första multiplikatorn är varaktigheten (modifierad om - den vanliga hastigheten, inte logaritmisk) med motsatt tecken, och den andra är den önskade konvexiteten (modifierad i samma situation). $r$

Baserat på definitionen härleds formeln:

$MC={\frac {PV''(r)}{PV}}={\frac {\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{ i}+2}}}t_{i}(t_{i}+1)}{PV}}={\frac {\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r) ^{t_{i}}}}t_{i}(t_{i}+1)}{PV(1+r)^{2}}}={\overline {T(T+1)}}/( 1+r)^{2}=({\overline {T^{2}}}+{\overline {T}})/(1+r)^{2}$

Uttrycket och brukar kallas konvexitet . Det faktiska värdet är den modifierade konvexiteten . $C={\overline {T^{2}}}+{\overline {T}}$ $MC$

I den första approximationen kan värdet även användas som en konvexitet , där är varaktigheten för kassaflödet, vilket dock minskar noggrannheten i beräkningarna. $D(D+1)$ $D={\overline {T}}$

Förhållande med varaktighet

Det kan visas att MC är relaterat till den modifierade varaktigheten enligt följande:

$MC=MD^{2}-{\frac {dMD}{dr))$

Notera

Den mest exakta uppskattningen av prisförändringen erhålls genom att expandera i en Taylor-serie, inte det aktuella värdet i sig, utan dess logaritm, och inte bara till räntan, utan till den logaritmiska kursen . I det här fallet kommer expansionen, med hänsyn till endast de två första termerna i serien, att ha formen: $\ln(1+r)$

$\Delta \ln PV=-D\Delta \ln(1+r)+0.5({\overline {T^{2}}}-{\overline {T}}^{2})[\Delta \ln(1+r)]^{2}$

I det här fallet är den andra termen vanligtvis en ganska liten justering och blir betydande endast på långa sikter och stora kursförändringar.

Se även

Länkar

Avancerade obligationskoncept: Konvexitet , Investopedia