Varaktighet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 januari 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Duration ( engelsk duration - "duration") - den vägda genomsnittliga löptiden för betalningsflödet och vikterna är den diskonterade kostnaden för betalningar. Duration är den viktigaste egenskapen för kassaflöde, som bestämmer känsligheten hos dess nuvarande värde för förändringar i räntan . Ett flödes varaktighet beror inte bara på dess struktur, utan också på den aktuella räntan. Ju högre ränta, desto mindre andel av kostnaden för långfristiga betalningar jämfört med korta och ju kortare varaktighet, och vice versa, desto lägre ränta, desto längre varaktighet på betalningsflödet.

Begreppet varaktighet introducerades av den amerikanske vetenskapsmannen F. Macaulay ( eng. FR Macaulay ).

Definition, beräkningsformel och tolkning

Varaktighet - vägt genomsnitt

Duration för icke-optionsobligationer beräknas med hjälp av den vägda medelformeln enligt följande:

D={\overline {T}}={\frac {\sum _{i}\ PV_{i}\cdot t_{i}}{\sum _{i}PV_{i}}}={ \frac {\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}\cdot t_{i}}{\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}}}

eller

D={\overline {T}}={\frac {\sum _{i}{CF_{i}}\cdot {e}^{-{r_{c}}{t_{i}}} \cdot t_{i}}{\sum _{i}{CF_{i}}\cdot {e}^{-{r_{c}}{t_{i}}}}},

var:

{\displaystyle CF_{i))

— th betalning;

i

r

- diskonteringsränta , avkastning på alternativ investering per tidsenhet (år, kvartal, etc.);

r_{c}

- diskonteringsräntan för löpande ränteackumulering.

PV_{i}

— Det diskonterade värdet av den i - :te betalningen.

t_{i}

— tidpunkten för den i - :te betalningen.

Nämnaren för denna formel är en uppskattning av nuvärdet av kassaflödet vid en given diskonteringsränta. Om kassaflödet genereras av ett finansiellt instrument som har en marknadsbedömning (eller annan) bedömning av det aktuella priset, är diskonteringsräntan i detta fall den inneboende interna avkastningen för detta instrument (för obligationer, avkastningen till förfall ). Denna ränta bestäms utifrån jämställdheten $P$

P=PV(r)=\summa _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}.

Det antas att marknaden effektivt bestämmer den diskonteringsränta som krävs och återspeglar avkastningskravet på instrument med liknande risknivå.

Duration är ett mått på ränterisk

Om vi betraktar det diskonterade värdet av kassaflödet som en funktion av räntan, kan vi visa att varaktigheten för kassaflödet är lika med det diskonterade värdet av kassaflödet vid räntan (eller, på motsvarande sätt, vid ) , taget med motsatt tecken på elasticitet (logaritmisk derivata) , dvs $1+r$

D=-{\frac {d\ln PV}{d\ln(1+r)))=-{\frac {dPV/PV}{d(1+r)/(1+r)} }=-{\frac {1+r}{PV}}{\frac {dPV}{dr}}.

Följaktligen,

dPV/PV=-Dd\ln(1+r)=-Ddr/(1+r).

Med små förändringar i priser kan skillnader ersättas helt enkelt med ändringar:

\delta PV=\Delta PV/PV\approx =-D\delta r=-D\Delta r/(1+r).

Duration möjliggör således en förenklad bedömning av graden av beroende av instrumentets marknadspris av förändringar i räntan. Ju längre duration instrumentet har, desto större förändring i dess marknadsvärde när räntorna ändras, det vill säga desto högre ränterisk .

Ändrad varaktighet

Om vi i ovanstående ungefärliga likhet använder den så kallade modifierade varaktigheten lika med

MD=-{\frac {d\ln PV}{dr}}=D/(1+r),

räntekänslighetsbedömningen förenklas:

\delta PV\approx -MD\cdot \Delta r.

Notera

När man uppskattar den möjliga förändringen av det verkliga värdet av ett kassaflöde med hjälp av (modifierad) duration, bör man ta hänsyn till den ungefärliga karaktären hos denna uppskattning. Dessutom, förutom kvantitativa felaktigheter, finns det också en kvalitativ skillnad mellan det verkliga beroendet och linjärt med hjälp av varaktighet eller modifierad varaktighet: samma positiva och negativa förändringar i räntan påverkar prisförändringen i samma absoluta värde. I verkligheten är så inte fallet — priset förändras asymmetriskt med stigande och sjunkande kurser, nämligen att sänka kursen leder till en större prishöjning än att sänka priset när kursen höjs med samma absoluta värde. I förtydligande syfte (både kvantitativt och kvalitativt), tillsammans med varaktigheten, används också den så kallade kassaflödeskonvexiteten , vilket är en andra ordningens korrigering. Denna justering av prisförändringen beror på kvadraten på kursförändringen (det vill säga den beror inte på tecknet), så när kurserna stiger minskar den graden av prisnedgång som förutsägs av varaktigheten, och när kursen faller ökar tillväxten beräknad efter varaktighet. Därmed beaktas även asymmetrin och uppskattningen specificeras kvantitativt.

En annan version av en mer exakt uppskattning är baserad på det faktum att den kvalitativa felaktigheten är associerad inte bara (och inte så mycket) med linearisering, utan också med ersättandet av förändringar i logaritmer med vanliga tillväxthastigheter. Om vi använder själva logaritmerna kommer uppskattningarna att vara kvalitativt mer adekvata för det verkliga beroendet (även om det också kommer att finnas en kvantitativ felaktighet):

\Delta \ln PV=-D\Delta \ln(1+r).

Från detta förhållande härleds följande mer sanna ungefärliga beroende av förändringen i det aktuella värdet:

\delta PV\approx (1+\Delta r/(1+r))^{-D}-1.

I detta beroende tas naturligtvis hänsyn till asymmetrin (denna beräkningsmetod är mer exakt, men något mindre bekväm på grund av beroendets olinjäritet).

Ytterligare tolkning

Med tanke på den sista ungefärliga likheten ovan kan ytterligare en tolkning ges till varaktigheten. Tänk på hur den nuvarande kostnaden för flödet ungefär kommer att förändras om räntan sjunker till noll ( ): $\Delta r=0-r=-r$

\delta PV\approx (1+(-r)/(1+r))^{-D}-1=(1+r)^{D}-1.

Följaktligen

P(0)\approx P(r)(1+r)^{D}.

Det är uppenbart att - det totala kassaflödet. Således kan durationen (vid en given takt) också tolkas som en ungefärlig period för vilken du behöver investera ett belopp i en takt för att få ett belopp som motsvarar det totala kassaflödet i slutet av denna period. Denna tolkning är mer korrekt, ju lägre kursen är. $P(0)=\summa _{i}CF_{i}$ $P(r)$ $r$

Varaktighet för vissa betalningsströmmar

En livräntas varaktighet

Det kan visas att varaktigheten för en livränta begränsad av term T är lika med följande värde:

D={\frac {1+r}{r}}-{\frac {T}{(1+r)^{T}-1}}.

Den modifierade varaktigheten kan erhållas genom att dividera med . $1+r$

Formeln innebär här den effektiva räntan för livränteintervallet och löptiden och varaktigheten även i livränteintervallen. Om vi använder den årliga effektiva räntan blir formeln för varaktigheten i år:

D=t\ gånger {\frac {(1+r)^{t}}{(1+r)^{t}-1}}-{\frac {T}{(1+r)^ {T}-1}},

var är livränteintervallets varaktighet i år (bråkdel av ett år), är livräntans löptid i år, är den årliga effektiva räntan. För t = 1 får vi den föregående formeln. $t$ $T$ $r$

För en evig livränta kan varaktighetsformeln definieras som gränsen för ovanstående formel vid (den andra termen i detta fall tenderar mot noll). Du kan också härleda formeln direkt. Nuvärdet av en evig livränta är . Låt oss använda formeln genom derivatan. Derivatan av denna funktion med avseende på är uppenbarligen lika med . Genom att multiplicera detta värde med och dividera med , får vi slutligen varaktighetsformeln: $T\högerpil\infty$ $PV=A/r$ $r$ $-A/r^{2}$ $(1+r)$ $PV$

D=(1+r)/r.

Den modifierade varaktigheten är uppenbarligen lika i detta fall med . $MD=1/r$

Bond duration

För en nollkupongobligation med förfallodag är nuvärdet $N$ $t$

PV=N/(1+r)^{t}.

Det sammanfaller också med det diskonterade värdet av en enstaka betalning, så dess varaktighet är helt enkelt lika med obligationens löptid:

D=t.

I fallet med en kupongobligation består kassaflödet av kupongbetalningar och inlösen av pari. I detta fall kan inlösen av det nominella värdet ske i avbetalning (amortering) och kupongräntan kan generellt sett förändras under obligationens cirkulationsperiod. Om värdet på kuponger betecknas med , och inlösen av det nominella värdet är , kommer durationen på obligationen att vara lika med $C_{i}$ $N_{j}$

D={\frac {\sum _{i=1}^{m}{\frac {C_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}t_{i}+ \sum _{j=1}^{k}{\frac {N_{j}}{(1+r)^{t_{j}}}}t_{j}}{P}},

var är priset på obligationen (det antas att avkastningen till förfallodagen för obligationen används som värde, därför ). $P$ $r$ $PV(r)=P$

Formeln kommer att ha exakt samma form om vi istället för kupongvärdet använder motsvarande kupongräntor, istället för beloppen av återbetalningar av det nominella värdet - andelarna av återbetalningarna av det nominella värdet, och istället för priset på obligation i monetära termer , använd standardpriset som en procentandel (andelar) av det nominella värdet. $C_{i}$ $N_{j}$ $P$

Ceteris paribus, ju längre löptid och (eller) ju lägre kupongränta och (eller) ju lägre avkastning till förfall desto längre löptid på obligationen. Allt annat lika, ju oftare kupongen betalas ut, desto kortare löptid.

I det enklaste fallet med en konstant kupongränta och ett engångsbelopp av det nominella värdet i slutet av terminen, kan du använda funktionen DURATION inbyggd i Microsoft Office Excel 2007 för att beräkna varaktigheten .

Exempel

Låt en kupongobligation med ett nominellt värde på 1000 rubel med en återstående löptid på 2 år och 3 månader ges. Inlösen av obligationen är ett engångsbelopp vid löptidens slut. Kupongavkastning - 12% per år. Kupongbetalningsfrekvensen är 4 gånger per år (det vill säga kupongstorleken är 30 rubel). Det antas att den första kupongen också väntas om 3 månader. Det nuvarande marknadspriset för obligationen är 1 035,85 rubel.

Kassaflödet från obligationen (kvartalsvis) kommer att vara (30,30,30,30,30,30,30,1030). Först av allt, med hjälp av IRR-funktionen inbyggd i Excel, kan du bestämma avkastningen till förfall - cirka 2,5% per kvartal. På årsbasis handlar det om cirka 10,38 % (inklusive sammansatt ränta), men i det här fallet spelar det ingen roll. Längden blir

{\begin{aligned}D={\frac {1}{1035.85}}(&1\cdot 30/1{,}025^{1}+2\cdot 30/1{,}025^{2 }+3\cdot 30/1{,}025^{3}+4\cdot 30/1{,}025^{4}+\\&+5\cdot 30/1{,}025^{5} +6\cdot 30/1{,}025^{6}+7\cdot 30/1{,}025^{7}+8\cdot 1030/1{,}025^{8})\approx \end {Justerat}}

\quad \approx (29{,}27+57{,}11+83{,}57+108{,}71+132{,}58+155{,}2+176{,}67+ 6762{,}95)/1035{,}85\approx

\quad \approx 7506{,}1/1035{,}85\approx 7{,}246,

det vill säga ungefär 7,25 kvartal, eller 1,81 år (ungefär 1 år och 10 månader), eller 661 dagar.

Med duration i år kan du uppskatta med hur stor procentandel priset på en obligation kommer att förändras när avkastningen ändras, till exempel med 1 % per år. För att göra detta uppskattar vi den modifierade varaktigheten: 1,81/1,035 = 1,74. Därför kommer andelen prisförändringar att vara 1,74 %. Detta motsvarar ungefär priset på 1 053,87 rubel till lägre priser och 1 017,82 rubel. när kurserna går upp. En mer exakt uppskattning av känsligheten för en obligations värde kan erhållas genom att dessutom använda kassaflödeskonvexitet .

Se även

Länkar

Varaktighet i investeringsanalys räkneexempel , definition, egenskaper, formel, jämförelsevillkor, acceptanskriterium, nackdelar.