Geometrisk progression

En geometrisk progression är en talföljd , , , ( medlemmar av progressionen), där varje efterföljande tal, med början från den andra, erhålls från den föregående medlemmen genom att multiplicera den med ett visst tal ( förloppets nämnare ). Samtidigt [1] . $b_{1}$ $b_{2}$ $b_{3}$ $\ldots$ $q$ $b_{1}\neq 0,q\neq 0;b_{n}=b_{n-1}q,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2$

Beskrivning

Varje medlem av en geometrisk progression kan beräknas med hjälp av formeln

b_{n}=b_{1}q^{n-1}.

Om och , progressionen är en ökande sekvens , om , det är en minskande sekvens, och för , det är en alternerande sekvens [2] , för , den är stationär . $b_{1}>0$ $q>1$ $0<q<1$ $q<0$ $q=1$

Progressionen har fått sitt namn från sin karakteristiska egenskap :

|b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},

det vill säga modulen för varje term är lika med det geometriska medelvärdet för dess grannar.

Exempel

Sekvensen av områden med kvadrater , där varje nästa kvadrat erhålls genom att ansluta mittpunkterna på sidorna av den föregående, är en oändlig geometrisk progression med en nämnare på 1/2. Arean av trianglarna som erhålls vid varje steg bildar också en oändlig geometrisk progression med nämnaren 1/2, vars summa är lika med arean av den initiala kvadraten [3] :8-9 .
Geometrisk är sekvensen av antalet korn på cellerna i problemet med korn på ett schackbräde .
2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128, 256, 512, 1024 , 2048, 4096, 8192 - en geometrisk progression med en nämnare på 2 av tretton medlemmar.
femtio; 25; 12,5; 6,25; 3,125; ... är en oändligt avtagande geometrisk progression med nämnaren 1/2.
fyra; 6; 9 är en geometrisk progression av tre element med en nämnare på 3/2.
$\pi$ , , , är en stationär geometrisk progression med nämnaren 1 (och en stationär aritmetisk progression med skillnaden 0). $\pi$ $\pi$ $\pi$
3; −6; 12; −24; 48; … är en alternerande geometrisk progression med nämnaren −2.
ett; −1; ett; −1; ett; … är en alternerande geometrisk progression med nämnaren −1.

Egenskaper

Formeln för nämnaren för en geometrisk progression:

q={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}

Bevis

Enligt definitionen av en geometrisk progression.

Logaritmerna för termerna för en geometrisk progression (om den definieras) bildar en aritmetisk progression .

Bevis

$\log(b_{n})=\log(b_{1}q^{n-1})=\log(b_{1})+(n-1)\cdot \log(q)$ Formeln för den gemensamma termen för en aritmetisk progression är: . I vårt fall . $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$

$a_{1}=\log(b_{1})$
$d=\log(q)$

$b_{{n}}^{2}=b_{{ni}}b_{{n+i}}$ om . $1<i<n$

Bevis

$b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^ {n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{ni}b_{n+i}.$

Produkten av de första n termerna av en geometrisk progression kan beräknas med hjälp av formeln $P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2)).$

Bevis

$P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_ {1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}.$ Låt oss utöka arbetet : Uttrycket är en aritmetisk progression med och steg 1. Summan av de första n medlemmarna av progressionen är Where $\prod _{{i=1}}^{n}q^{{i-1}}$ $\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=q^{0}\cdot q^{1}\cdot q^{2}\cdot \ldots \cdot q^ {i-1}=q^{0+1+2+\ldots +(i-1)}.$ $0+1+2+\ldots +(n-1)$ $a_{1}=0$ $S_{n}=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}=n\cdot {\frac {0+(n-1)}{2}}.$ $P_{n}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n} q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n -1))}{2}}=\left(b_{1}b_{1}q^{n-1}\right)^{\frac {n}{2}}=\left(b_{1} b_{n}\right)^{\frac {n}{2)).$

Produkten av termerna för en geometrisk progression, som börjar med den k: te termen och slutar med den n :te termen, kan beräknas med formeln $P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Bevis

$P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i)){\ prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Summan av de första termerna i en geometrisk progression $n$ $S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n }}{1-q}}={\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1 \\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}$

Bevis

Bevis genom summan: $S_{n}=\summa _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\summa _{i=2}^{n}b_ {1}q^{i-1}=b_{1}+q\summa _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\summa _ {i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\summa _{i=1}^{n}b_{1}q^{i- 1}-b_{1}q^{n}.$ Det vill säga eller $\summa _{{i=1}}^{n}b_{1}q^{{i-1}}=b_{1}+q\summa _{{i=1}}^{n}b_{ 1}q^{{i-1}}-b_{1}q^{n}$ $\left(1-q\right)\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n} .$ Var $\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q }}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$
Bevis genom induktion på . $n$ Låta $S_{n}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$ När vi har: $n=1$ $S_{1}=\summa _{i=1}^{1}b_{i}=b_{1}=b_{1}{\frac {1-q^{1}}{1-q }}.$ När vi har: $n\rightarrow n+1$ $S_{n+1}=\summa _{i=1}^{n+1}b_{i}=\summa _{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+ 1 }=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+b_{1}q^{n}=b_{1}\left({\frac {1-q ^ {n}}{1-q}}+q^{n}\right)=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n + 1}}{1-q}}\right)=b_{1}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.$

Summan av alla medlemmar i en minskande progression:

\left|q\right|<1

, sedan vid , och

b_{n}\to 0

n\till +\infty

S_{n}\to {\frac {b_{1}}{1-q}}

kl .

n\till +\infty

Bevis

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)} {1-q}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}{\frac {q^{n}} {1-q}}\right)={\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}} {1-q}}.$ Om då vid Därför Därför $\left|q\right|<1,$ $q^{n}\to 0$ $n\to \infty .$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}=0.$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {b_{1}}{1-q}}.$

Se även

Anteckningar

↑ Geometrisk progression Arkiverad 12 oktober 2011 på Wayback Machine på mathematics.ru
↑ Geometrisk progression // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ Rowe S. Geometriska övningar med ett papper . - 2:a uppl. - Odessa: Mathesis, 1923.

Ordböcker och uppslagsverk	Great Soviet (1 upplaga) Britannica (online)