Hypercyklisk operatör

Låta vara ett topologiskt vektorrum (till exempel ett Banach-utrymme ). En linjär kontinuerlig operator sägs vara hypercyklisk om det finns ett element så att mängden är tät i . Detta element kallas en hypercyklisk vektor för operatorn . $X$ $T:X\rightarrow X$ $x\i X$ $\left\{T^{n}x,n=0,1,2,...\right\}$ $X$ $x$ $T$

Begreppet hypercyklicitet är ett specialfall av det bredare begreppet topologisk transitivitet .

Exempel

Det första exemplet på en hypercyklisk operator gavs av Birkhoff 1929.

1969 bevisade Rolevich att den omvända skiftoperatorn i rymden $l^2$ , multiplicerad med en konstant , är hypercyklisk och omvandlar en sekvens till en sekvens . $\lambda :|\lambda |>1$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\in l^{2))$ ${\displaystyle (\lambda a_{2},\lambda a_{3},\lambda a_{4},\ldots )\in l^{2))$

1988 kom Charles Reed med ett exempel på en operator på ett Banach- utrymme $l^{1}$ , så att alla dess vektorer som inte är noll är hypercykliska. Detta är ett motexempel till det välkända problemet med existensen av ett invariant delrum för Banach-rum. För Hilbert-utrymmen är problemet fortfarande öppet.

Länkar

K.-G. Grosse Erdmann. Universella familjer och hypercykliska operatorer. Arkiverad 30 april 2007 på Wayback Machine
Read, CJ (1988), The invariant subspace problem for a class of Banach spaces, 2: hypercyclic operators , Israel Journal of Mathematics vol 63 (1): 1–40, MR : 0959046 , ISSN 0021-2172 , DOI 10.1007/ BF02765019