André-Oort-förmodan är ett problem inom talteorin som generaliserar Manin-Mumford-förmodan . Den första versionen av gissningen lades fram av Yves André 1989 [1] , och den mer allmänna versionen lades fram av Frans Oort 1995 [2] . Den moderna versionen är en generalisering av dessa två hypoteser. Det finns ett bevis på gissningen publicerad i form av ett förtryck.
Hypotesen i sin moderna form är följande. Låt S vara en Simura-variant och låt V vara uppsättningen av speciella punkter i S . Då är de irreducerbara komponenterna i Zariski-topologin i mängden V speciella undervarianter.
Andrés första version av gissningen var helt enkelt för endimensionella Simura-varianter, medan Oort föreslog att den skulle fungera med moduli-rymd-subvarieteter av huvudsakligen polariserade abelska varianter av dimensionen g .
Olika resultat har satts i riktning mot att bevisa den fullständiga gissningen av bland andra Ben Moonen, Yves André, Andrey Yafaev, Bas Edikshoven, Lauren Clausel och Emmanuel Ullmo. De flesta av dessa resultat tyder på att den generaliserade Riemann-hypotesen är korrekt. Det största resultatet som inte antar att Riemann-hypotesen är sann kom 2009 när Jonathan Pyla använde tekniken o-minimal geometri och transcendental talteori för att bevisa en gissning för godtyckliga produkter av modulära kurvor [3] [4] , för vilket han tilldelades 2011 års Clay Research Prize [5] .
I ett förtryck 2021 gav Jonathan Pila , Anant Shankar och Yakov Tsimerman ett bevis på André-Oort-förmodan [6] .
Precis som André-Oort-hypotesen kan ses som en generalisering av Manin-Mumford-hypotesen, kan André-Oort-hypotesen i sig generaliseras. En generalisering av Silbert-Pink brukar övervägas, som kombinerar generaliseringen av André-Oort-förmodan som föreslagits av Richard Pink [7] och förmodan av Boris Zilber [8] [9] .