Herzog-Schoenheims hypotes

Herzog–Schönheim-förmodan är ett kombinatoriskt problem i gruppteorin som ställdes 1974 av Marcel Herzog och Johanan Schoenheim [1] .

Låt vara en grupp , och låt $G$

{\displaystyle A=\{a_{1}G_{1},\ \ldots ,\ a_{k}G_{k}\))

är ett ändligt system av vänster cosets av undergrupper av gruppen . ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k))$ $G$

Herzog och Schönheim antog att om bildar en partition av en mängd med , då kan inte alla (ändliga) indexen vara distinkta. Om upprepning av index är tillåten är det lätt att dela upp gruppen i vänster cosets - om är någon undergrupp av gruppen med index , så delas den upp i vänster cosets av undergruppen . $A$ $G$ $k>1$ $[G:G_{1}],\ldots ,[G:G_{k}]$ $H$ $G$ $k=[G:H]<\infty$ $G$ $k$ $H$

Subnormala undergrupper

År 2004 bevisade Chiwei Sun en utökad version av Herzog-Schönheim-förmodan för fallet där är subnormala i [2] . Huvudlemmat i Suns bevis säger att om är subnormala och har ett ändligt index i , då ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k))$ $G$ ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k))$ $G$

{\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg |}\ \prod _{i=1}^{k} [G:G_{i}]

och följaktligen,

P{\bigg (}{\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg )}=\bigcup _{i= 1}^{k}P([G:G_{i}]),

var är mängden primtalsdelare för . $P(n)$ $n$

Mirsky–Newmans teorem

Om är en additiv grupp av heltal, är samklasserna i gruppen aritmetiska progressioner . I det här fallet säger Herzog-Schönheim-förmodan att varje täckande system , en familj av aritmetiska progressioner som tillsammans täcker alla heltal, måste täcka vissa tal mer än en gång, eller inkludera åtminstone ett par progressioner som har samma skillnad. Detta resultat lades fram som en gissning 1950 av Pal Erdős och kort därefter bevisades av Leon Mirsky , tillsammans med Donald J. Newman . Mirsky och Newman publicerade dock aldrig sina bevis. Samma bevis hittades oberoende av Harold Davenport och Richard Rado . $G$ $\mathbb {Z}$ $G$ [3].

1970 föreslogs ett geometriskt färgproblem motsvarande Mirsky-Newmans sats vid den sovjetiska matematiska olympiaden:

Antag att hörnen på en vanlig polygon är färgade så att hörnen i vilken som helst färg bildar en vanlig polygon. Sedan finns det två färger som bildar lika polygoner [3] .

Anteckningar

↑ Herzog, Schönheim, 1974 , sid. 150.
↑ Sön, 2004 , sid. 153–175.
↑ 12 Soifer , 2008 , sid. 1–9.

Litteratur

M. Herzog, J. Schönheim. Forskningsproblem nr. 9 // Canadian Mathematical Bulletin. - 1974. - T. 17 . - S. 150 . . Som citeras i ( sön 2004 )
Zhi Wei Sun. Om Herzog-Schönheim-förmodan om enhetliga omslag för grupper // Journal of Algebra. - 2004. - T. 273 , nummer. 1 . — S. 153–175 . - doi : 10.1016/S0021-8693(03)00526-X . - arXiv : math/0306099 .
Alexander Soifer. The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of its Creators . - New York: Springer, 2008. - S. 1-9 . — ISBN 978-0-387-74640-1 .