Huvudvärdet för Cauchy-integralen

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 30 maj 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Huvudvärdet för Cauchy- integralen är en generalisering av begreppet Riemann-integralen , som låter dig beräkna några divergerande felaktiga integraler . Tanken med Cauchy-integralens huvudvärde är att när integrationsintervallen närmar sig singularpunkten från båda sidor "i samma hastighet", utjämnar singulariteterna varandra (på grund av olika tecken till vänster och höger), och som ett resultat kan du få en finit gräns, som kallas huvudvärdet för Cauchy-integralen. Detta koncept har viktiga tillämpningar i komplex analys ( Sochocki-Plemelja-satsen ) [1] .

Så, till exempel, en integral är en otillbörlig integral av det andra slaget , existerar inte, men den existerar i betydelsen av Cauchy-integralens huvudvärde. $\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}$

Definition av huvudvärdet för Cauchy-integralen

Definition (för singularis "∞")

Definition (för singularis "∞"). Låt f (x) definieras på intervallet (-∞, + ∞) och f ∈ R ([- A, A]) för alla A > 0, men den felaktiga integralen av det första slaget divergerar. Om det finns en ändlig gräns $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx$

\lim _{A\rightarrow +\infty }\int _{-A}^{A}f(x)\,dx,

då kallas denna gräns för huvudvärdet för Cauchy-integralen (eller huvudvärdet i betydelsen Cauchy) för funktionen f i domänen (-∞, + ∞) och betecknas med symbolen

\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx.

I detta fall sägs funktionen f (x) vara integrerbar på intervallet (-∞, + ∞) i betydelsen Cauchy (eller integrerbar i domänen (-∞, + ∞) i betydelsen Cauchy).

Exempel. Betrakta den olämpliga integralen. Denna integral divergerar eftersom integralen till exempel kommer att vara divergent, men det finns ett principiellt värde för denna integral i betydelsen Cauchy: $\int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx.$ $\int _{0}^{+\infty }x\,dx,$

\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }\int _{-A}^{A}x \,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }{\frac {x^{2}}{2}}{\Bigr |}_{-A}^{A}=0.

Sats

Om f (x) är udda på (-∞, + ∞) och f ∈ R ([- A, A]) för alla A > 0, då är f Cauchy-integrerbar på (-∞, + ∞).
Om f (x) är jämnt på (-∞, + ∞) och f ∈ R ([- A, A]) för alla A > 0, så är integralens konvergens ekvivalent med integralens konvergens $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx$ $\int _{0}^{+\infty }f(x)\,dx.$

Definition (för en finit singular punkt)

Definition (för en finit singular punkt). Låt funktionen f : [a, b] → R uppfylla villkoren:

det finns δ > 0 så att f ∈ R ([a, c - ε]) och f ∈ R ([c + ε, b]) för alla ε ∈ (0, δ)
divergent är en otillbörlig integral av det andra slaget $\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

Om det finns en ändlig gräns

\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon }^{b}f (x)\,dx\right),

då kallas denna gräns för huvudvärdet för Cauchy-integralen (eller huvudvärdet i betydelsen Cauchy) för funktionen f på intervallet [a, b] och betecknas med symbolen

\mathrm {vp} \int _{a}^{b}f(x)\,dx.

Dessutom sägs funktionen f (x) vara Cauchy integrerbar på [a , b ] (eller integrerbar på segmentet [a, b] i betydelsen Cauchy).

Exempel. Betrakta en oegentlig integral av det andra slaget (se figur) Den divergerar, eftersom till exempel integralen divergerar. I detta fall, i förståelsen av huvudvärdet enligt Cauchy, existerar denna integral och är lika med noll: $\int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}$ $\int _{-2}^{0}{\frac {dx}{x)).$

{\begin{aligned}\mathrm {vp} \int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left (\int _{-2}^{-\varepsilon }{\frac {dx}{x}}+\int _{\varepsilon }^{2}{\frac {dx}{x}}\right)= \\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\ln |x|{\Bigr |}_{-2}^{-\varepsilon }+\ln |x|{\Bigr |} _{\varepsilon }^{2}\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}{\big (}\ln |-\varepsilon |-\ln |\varepsilon |{\big )}=\\&=0.\end{aligned}}

Fallet med flera singulära punkter på integrationsintervallet

Exempel. Tänk på en felaktig integral (se figur). Singularpunkterna för integranden f (x) = 2 x / (x²-1) är punkterna -1, 1 och ∞. Denna integral divergerar, därför divergerar den till exempel integralen $\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx$

{\begin{aligned}\int _{2}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{A\to +\ infty }\int _{2}^{A}{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx=\\&=\lim _{A\to +\infty }\ln | x^{2}-1|{\Bigr |}_{x=2}^{A}=\\&=\lim _{A\to +\infty }{\big (}\ln |A^{ 2}-1|-\ln 3{\big )}=\\&=+\infty .\end{aligned))

Uppenbarligen är f ∈ R ([1 / ε, −1-ε]) ∩ R ([1 + ε, 1-ε]) ∩ R ([1 + ε, 1 / ε]) för alla ε ∈ (0 , 1) (eftersom det är begränsat till vart och ett av dessa segment). Låt oss kontrollera integrerbarheten av funktionen f i betydelsen Cauchy:

{\begin{aligned}\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\ int _{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\int _{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \to +0}{\Big (}\ln |x^{ 2}-1|{\Bigr |}_{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\Big )}=\\&=0 .\end{aligned}}

Därför är funktionen f Cauchy-integrerbar på intervallet (-∞, + ∞).

Anteckningar

↑ Pavlov V.P. Integralens huvudvärde // Physical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-effekt - Långa rader. — 707 sid. — 100 000 exemplar.

Källor

Dorogovtsev A. Ya. Matematisk analys . - Kiev, Higher School, 1985.