Sokhotsky-Plemelya-satsen

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 30 oktober 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Sochocki-Plemelja-satsen (polsk stavning Sochocki ) är en sats inom komplex analys som hjälper till att utvärdera bestämda integraler. Den riktiga linjeversionen ( se nedan ) används ofta inom fysiken, även om den sällan nämns med namn. Teoremet är uppkallat efter Julian Sochocki , som bevisade det 1868, och Josip Plemelj , som återupptäckte det som huvudingrediensen i sin lösning på Riemann-Hilbert-problemet 1908.

Uttalande av satsen

Låt C vara en slät sluten enkel kurva i planet och φ vara en analytisk funktion på C . Sedan integralen av Cauchy-typ

{\frac {1}{2\pi i))\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )d\zeta }{\zeta -z)),

definierar två analytiska funktioner av z , φ i inuti C och φ e utanför. Sokhotsky-Plemelj-formlerna relaterar gränsvärdena för dessa två analytiska funktioner vid punkten z på C och Cauchy-huvudvärdet för integralen: ${\mathcal {P}}$

\phi _{i}(z)={\frac {1}{2\pi i)){\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )d \zeta }{\zeta -z))+{\frac {1}{2))\varphi (z),

\phi _{e}(z)={\frac {1}{2\pi i}}{\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )d \zeta }{\zeta -z}}-{\frac {1}{2}}\varphi (z).

De efterföljande generaliseringarna tar bort kraven på jämnhet på kurvan C och funktionen φ .

Real line version

Versionen av detta teorem för integraler på den reella linjen är särskilt viktig.

Låt ƒ vara en funktion med komplext värde som är definierad och kontinuerlig på den reella axeln, och låt a och b vara reella tal så att a < 0 < b . Sedan

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\ mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx,

där anger Cauchys huvudvärde. ${\mathcal {P}}$

Bevis för den riktiga raden

Ett enkelt bevis är följande.

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\ mp i\pi \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2 })}}f(x)\,dx+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}{x^{2 }+\varepsilon ^{2}}}\,{\frac {f(x)}{x}}\,dx.

För den första termen, notera att det är den begynnande deltafunktionen och närmar sig därför Dirac deltafunktionen i gränsen. Därför är den första termen lika med . ${\tfrac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})))$ $\mp i\pi f(0)$

För den andra termen noterar vi att faktorn tenderar till 1 för | x | ≫ ε , och tenderar till 0 som | x | ≪ ε, nämligen en symmetrisk funktion med avseende på 0. Därför får man i gränsen en integral i betydelsen Cauchys huvudvärde. ${\tfrac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}$

Tillämpningar till fysik

Inom kvantmekanik och kvantfältteori måste man ofta utvärdera integraler av formen

\int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E)\exp(-iEt),

där E är viss energi och t är tid. I denna form är uttrycket odefinierat (eftersom tidsintegralen inte konvergerar), så det modifieras vanligtvis genom att lägga till en negativ reell koefficient till t i exponenten och sedan trycka denna koefficient till noll:

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E )\exp(-iEt-\varepsilon t)

=-i\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{Ei\varepsilon }}\, dE=\pi f(0)-i{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E}}\,dE,

där Sochockis sats används i det sista steget.

Se även

Singular integraloperatorer på slutna kurvor
Kramers-Kronig relationer
Hilbert förvandlas

Litteratur

Weinberg, Steven . The Quantum Theory of Fields, Volym 1 :Grunder . - Cambridge University Press , 1995. - ISBN 0-521-55001-7 . Kapitel 3.1.
Merzbacher, Eugene. Kvantmekanik (neopr.) . - Wiley, John & Sons, Inc., 1998. - ISBN 0-471-88702-1 . Bilaga A, ekvation (A.19).
Henrici, Peter. Applied and Computational Complex Analysis, vol. 3 (engelska) . — Willey, John & Sons, Inc., 1986.
Plemelj, Josip. Problem i Riemann och Kleins mening . — New York: Interscience Publishers , 1964.
Gakhov, F.D. (1990), Gränsvärdesproblem. Omtryck av 1966 års översättning , Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6
Muskhelishvili, N.I. Singular integralekvationer, gränsproblem för funktionsteorin och deras tillämpning på matematisk fysik (engelska) . Melbourne: Avd. of Supply and Development, Aeronautical Research Laboratories, 1949.
Blanchard, Bruening: Mathematical Methods in Physics (Birkhauser 2003), Exempel 3.3.1 4
Sokhotskii, YW Om bestämda integraler och funktioner som används i serieexpansion (engelska) . —St. Petersburg, 1873.