Kramers-Kronig relationer

Kramers-Kronig-relationerna är en integrerad koppling mellan de verkliga och imaginära delarna av varje komplex funktionsanalytik i det övre halvplanet. Används ofta i fysiken för att beskriva förhållandet mellan de verkliga och imaginära delarna av ett fysiskt systems responsfunktion, eftersom responsfunktionens analyticitet innebär att systemet uppfyller kausalitetsprincipen och vice versa [1] . Speciellt uttrycker Kramers-Kronig-relationerna förhållandet mellan de reella och imaginära delarna av permittiviteten i klassisk elektrodynamik och amplituden för övergångssannolikheten (för matriselementet) mellan två tillstånd i kvantfältteorin . Inom matematiken är förhållandet mellan Kramers och Kronig kända som Hilbert-transformen .

Definition

För en komplex funktion av en komplex variabel som är analytisk i det övre halvplanet och tenderar mot noll eftersom Kramers-Kronig-relationerna skrivs enligt följande: $\chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )$ $\omega,$ $\omega$ $|\omega |\högerpil \infty ,$

\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }vp\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}{\chi _{2}(\omega ') \över \omega '-\omega }\,d\omega '

och

\chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }vp\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}{\chi _{1}(\omega ' ) \över \omega '-\omega }\,d\omega ',

där symbolerna betyder att ta integralen i betydelsen av huvudvärdet (enligt Cauchy) . Det kan ses att och är inte oberoende, vilket innebär att hela funktionen kan återställas om bara dess verkliga eller imaginära del ges. $vp$ $\chi _{1}(\omega )$ $\chi _{2}(\omega )$

I en mer kompakt form:

\chi (\omega )={1 \over i\pi }vp\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega } \,d\omega '.

Slutsats

Låta vara en kontinuerlig funktion av en komplex variabel . Låt oss uppskatta summan av integralerna över konturerna lite ovanför och lite under den verkliga axeln: $f(x)$ $x$

\lim _{\epsilon \to 0}\left[\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{xi\epsilon }}+\int _{ -\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{x+i\epsilon }}\right]=\lim _{\epsilon \to 0}\left[\int _{-\ infty -i\epsilon }^{\infty -i\epsilon }{\frac {f(x'+i\epsilon )dx'}{x'}}+\int _{-\infty +i\epsilon }^ {\infty +i\epsilon }{\frac {f(x'-i\epsilon )dx'}{x'}}\right]=2v.p.\int _{-\infty }^{\infty } {\frac {f(x)}{x}}dx

Låt oss uppskatta skillnaden mellan integralerna över konturerna lite ovanför och lite under den verkliga axeln:

\lim _{\epsilon \to 0}\left[\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{xi\epsilon }}-\int _{ -\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{x+i\epsilon }}\right]=\oint _{-\infty }^{\infty }{\frac {f( x)}{x}}dx=2\pi if(0)

( Cauchys integralformel ). Genom att kombinera dessa två likheter finner vi

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{x\pm i\epsilon }}=vp\int _{-\infty }^{\infty } {\frac {f(x)}{x}}dx\mp i\pi f(0)

Detta är Sochocki-Plemelj-satsen .

Polariseringen vid någon tidpunkt bestäms av värdena för det elektriska fältet endast vid de tidigare tidpunkterna, därför gör det möjligt för oss att skriva lika med polariserbarheten till noll för negativa värden av argumentet: $\chi (t)$

\chi _{\omega }=\int _{0}^{\infty }e^{i\omega t}\chi (t)dt

i fallet med en komplex frekvens måste funktionen vara analytisk i det övre halvplanet för att tillfredsställa kausalitetsprincipen . Men då är funktionen , där är verklig, också analytisk i det övre halvplanet , och varje stängd integral i detta halvplan är lika med noll: $\chi (\omega )$ $\chi (\omega ')/(\omega '-\omega )$ $\omega$ $\omega '$

\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '=0

Vi skriver integralen längs den reella axeln med hjälp av Sochocki-Plemei-satsen:

0=\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '={\mathcal {P))\!\!\!\int \limits _{ -\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega ).

sedan

\chi (\omega )={1 \over i\pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi ( \omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '.

För den komplexa skriver vi de verkliga och imaginära delarna av ekvationen: $\chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )$

\chi _{1}(\omega )={1 \över \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{ \chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '

och

\chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty } {\chi _{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',

där - integralen tas i betydelsen huvudvärdet. Kramers-Kronig-relationerna [2] [3] erhålls . ${\mathcal {P}}$

Kramers-Kronig relationer i fysik

Klassisk elektrodynamik [4] [5]

Ett viktigt exempel på tillämpningen av Kramers-Kronig-relationerna i fysiken är uttrycket av spridningsrelationer i klassisk elektrodynamik . I det här fallet , var är permittiviteten , ω är frekvensen . $\varepsilon (\omega )=\varepsilon ^{\prime }(\omega )+i\varepsilon ^{{\prime \prime }}(\omega)$ $\varepsilon$

\varepsilon ^{\prime }(\omega )=1+{\frac {1}{\pi }}vp\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varepsilon ^{\prime \prime }(x)}{x-\omega }}dx

och

\varepsilon ^{{\prime \prime }}(\omega )=-{\frac {1}{\pi }}vp\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }{\frac { \varepsilon ^{\prime }(x)-1}{x-\omega }}dx.

De reella och imaginära delarna av permittiviteten bestämmer brytningsindex och absorptionsindex (optiska konstanter) för ett givet medium. Således är dessa indikatorer inte oberoende av varandra och följaktligen blir det i princip möjligt att beräkna den andras spektrum från spektrumet av en av de optiska konstanterna utan att tillgripa direkta mätningar av den senare. I ett antal fall gör detta det möjligt att minska mängden experimentellt erhållen information som är nödvändig för att bestämma de optiska konstanterna, till exempel i området för intensiva absorptionsband av kondenserade media. Genomförbarheten av Kramers-Kronig-relationerna har upprepade gånger testats experimentellt för olika medier i olika aggregationstillstånd och vid olika temperaturer (kristaller, vätskor, lösningar) [6] [7] .

Kvantfältteori

I kvantfältteorin, när man studerar spridningsprocesser, tillfredsställer amplituderna för övergångssannolikheterna, betraktade som komplexa funktioner av systemets totala energi, den överförda rörelsemängden, etc., spridningsförhållandena [3] . Detta underlättar avsevärt studiet av dessa fenomen.

Historik

Kramers-Kronig-förbindelserna etablerades 1926-1927. Ralph Kronig [8] och Hendrik Kramers [9] och är uppkallade efter dem.

Anteckningar

↑ John S. Toll, Causality and the Dispersion Relation: Logical Foundations , Physical Review, vol. 104 , sid. 1760-1770 (1956).
↑ Jackson. "Klassisk elektrodynamik". Moscow, Mir, 1965. (Eng: Jackson J. Classical Electrodynamics. — New York: Wiley, 1998
↑ 1 2 Nishijima, 1965 , sid. 153.
↑ Martin P. Summeregler Kramers – Kronig-relationer och transportkoefficienter i laddade system // Phys. Varv. . - 1967. - T. 161 . - S. 143 .
↑ Agranovich V. M., Ginzburg V. L. Kristalloptik med hänsyn till rumslig dispersion och excitonteori. - M. , 1979.
↑ Alperovich L. I., Bakhshiev N. G., Zabiyakin Yu. E., Libov V. S. Kramers-Kronig relationer för molekylära spektra av vätskor och lösningar // Optik och spektroskopi . - 1968. - T. 24 . - S. 60-63 .
↑ Zabiyakin Yu. E. Verifiering av Kramers-Kronig-spridningsförhållandena i ett brett temperaturområde // Optik och spektroskopi . - 1968. - T. 24 . - S. 828-829 .
↑ R. de L. Kronig, Om teorin om röntgenstrålningens spridning, J. Opt. soc. Am., vol. 12 , sid. 547-557 (1926).
↑ H.A. Kramers, La diffusion de la lumiere par les atomes, Atti Cong. Internera. Fisica, (Transaktioner av Volta Centenary Congress) Como, vol. 2 , sid. 545-557 (1927).

Litteratur

Matthews J., Walker R. Matematiska metoder i fysik / Per. från engelska. — M.: Atomizdat , 1972. — 392 sid.
Barton G. Dispersionsmetoder i fältteori / Per. från engelska. - M., 1968.
Nishijima K. Fundamentala partiklar. - M . : Mir, 1965. - 462 sid.